bài tập mặt cầu – khối cầu – nguyễn đăng dũng

Tài liệu hướng dẫn chuyên sâu về phương pháp giải toán Mặt cầu và Khối cầu: Đánh giá và Phân tích

Tài liệu gồm 9 trang, tập trung vào việc trình bày các phương pháp tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu và khối cầu trong không gian. Điểm mạnh của tài liệu nằm ở việc hệ thống hóa các kỹ năng chứng minh cơ bản, cần thiết để giải quyết các dạng bài tập thường gặp. Dưới đây là phân tích chi tiết và mở rộng các phương pháp được đề cập:

1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một mặt cầu:

Phương pháp này dựa trên định nghĩa cơ bản của mặt cầu: Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính). Do đó, để chứng minh một tập hợp các điểm cùng thuộc một mặt cầu, ta cần chứng minh:

1. Xác định điểm O: Tìm một điểm O trong không gian.
2. Tính khoảng cách: Tính khoảng cách từ mỗi điểm trong tập hợp đến điểm O.
3. Chứng minh tính đồng nhất: Chứng minh rằng tất cả các khoảng cách này đều bằng một giá trị R > 0 không đổi.

Nhận xét: Đây là phương pháp quan trọng, thường được sử dụng để chứng minh các điểm là đỉnh của một đa diện nội tiếp mặt cầu, hoặc để xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình nào đó.

2. Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu:

Một đường thẳng được xem là tiếp xúc với một mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến đường thẳng bằng bán kính của mặt cầu. Phương pháp này được thực hiện như sau:

1. Xác định tâm và bán kính: Xác định tọa độ tâm O(x₀, y₀, z₀) và bán kính R của mặt cầu S(O;R).
2. Phương trình đường thẳng: Biểu diễn đường thẳng D dưới dạng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.
3. Tính khoảng cách: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(O;D) = |[ax₀ + by₀ + cz₀ + d] / √(a² + b² + c²)|, trong đó ax + by + cz + d = 0 là phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng D và vuông góc với đường thẳng đó.
4. So sánh: Kiểm tra xem d(O;D) có bằng R hay không. Nếu d(O;D) = R, thì đường thẳng D tiếp xúc với mặt cầu S.

Nhận xét: Việc nắm vững công thức tính khoảng cách và khả năng biểu diễn phương trình đường thẳng là yếu tố then chốt để áp dụng thành công phương pháp này.

3. Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu:

Tương tự như trường hợp đường thẳng, một mặt phẳng được xem là tiếp xúc với một mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính của mặt cầu.

1. Xác định tâm và bán kính: Xác định tọa độ tâm O(x₀, y₀, z₀) và bán kính R của mặt cầu S(O;R).
2. Phương trình mặt phẳng: Biểu diễn mặt phẳng (P) dưới dạng phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0.
3. Tính khoảng cách: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d(O;(P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
4. So sánh: Kiểm tra xem d(O;(P)) có bằng R hay không. Nếu d(O;(P)) = R, thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S.

Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng để xác định các mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại một điểm cho trước.

4. Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông:

Đây là một kết quả quan trọng trong hình học không gian. Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB. Điều này có nghĩa là:

• Xác định trung điểm: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
• Bán kính: Bán kính của mặt cầu là R = AB/2.
• Tâm: Tâm của mặt cầu là điểm I.

Nhận xét: Kết quả này có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến góc nhìn và vị trí tương đối giữa các điểm trong không gian.

Đánh giá chung:

Tài liệu cung cấp một nền tảng vững chắc cho việc học và giải toán về mặt cầu và khối cầu. Các phương pháp được trình bày rõ ràng, dễ hiểu và đi kèm với các ví dụ minh họa (trong 9 trang tài liệu đầy đủ). Tuy nhiên, để nâng cao hiệu quả học tập, tài liệu nên được bổ sung thêm các bài tập đa dạng hơn, cũng như các kỹ thuật giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Việc phân tích sâu hơn về các ứng dụng thực tế của các phương pháp này cũng sẽ làm tăng tính hấp dẫn và giá trị của tài liệu.