căn bậc hai của một tích, một thương

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CĂN BẬC HAI CỦA MỘT TÍCH VÀ MỘT THƯƠNG

Bài viết này cung cấp một tổng quan chi tiết về các kiến thức cơ bản và phương pháp giải các bài toán liên quan đến căn bậc hai của một tích và một thương, thường gặp trong chương trình học toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai của một tích

1. Quy tắc khai phương một tích: Để khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Để nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với hai biểu thức \(A\) và \(B\) không âm, ta có: \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B .\)
4. Lũy thừa của một căn bậc hai:
   • Kết quả 1: \({(\sqrt A )^2} = A\) (với \(A \ge 0\)).
   • Kết quả 2: \({(\sqrt A )^3} = A\sqrt A \) (với \(A \ge 0\)).

II. Căn bậc hai của một thương

1. Quy tắc khai phương một thương: Để khai phương một thương \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) không âm và \(b\) dương, ta khai phương số \(a\) và số \(b\) riêng biệt, sau đó chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.
2. Quy tắc chia hai căn bậc hai: Để chia căn bậc hai của một số \(a\) không âm cho căn bậc hai của một số \(b\) dương, ta chia số \(a\) cho số \(b\) rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương, ta có: \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}.\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH – NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai.
2. Phân tích các số trong dấu căn thành nhân tử, đặc biệt chú ý tìm các nhân tử là số chính phương để đơn giản biểu thức.
3. Sử dụng hằng đẳng thức \({(\sqrt a )^2} = a\) (với \(a \ge 0\)) để rút gọn.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

• a) \(\sqrt {4.1,44.225} = \sqrt 4 .\sqrt {1,44} .\sqrt {225} = 2.1,2.15 = 36.\)
• b) \(\sqrt {{2^4}.{{( – 3)}^2}} = \sqrt {{2^4}} .\sqrt {{{( – 3)}^2}} = {2^2}.| – 3| = 4.3 = 12.\)
• c) \(\sqrt {16,9.250} = \sqrt {169.25} = \sqrt {169} .\sqrt {25} = 13.5 = 65.\)
• d) \(\sqrt {{3^2}{{.5}^4}} = \sqrt {{3^2}} .\sqrt {{5^4}} = 3.{5^2} = 3.25 = 75.\)

Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân các căn thức, hãy tính:

• a) \(\sqrt 2 .\sqrt {18} = \sqrt {2.18} = \sqrt {{{(2.3)}^2}} = 6.\)
• b) \(\sqrt {1,6} .\sqrt {30} .\sqrt {48} = \sqrt {1,6.30.48} = \sqrt {{{(4.12)}^2}} = 48.\)
• c) \(\sqrt {0,4} .\sqrt {2,5} = \sqrt {0,4.2,5} = \sqrt 1 = 1.\)
• d) \(\sqrt {6,4} .\sqrt 5 .\sqrt {0,5} = \sqrt {6,4.5.0,5} = \sqrt {16} = 4.\)

Ví dụ 3: Khai triển:

• a) \({(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2} = {(\sqrt 3 )^2} + 2\sqrt 3 \sqrt 2 + {(\sqrt 2 )^2} = 3 + 2\sqrt 6 + 2 = 5 + 2\sqrt 6 .\)
• b) \({(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2} = {(\sqrt 5 )^2} – 2\sqrt 5 \sqrt 3 + {(\sqrt 3 )^2} = 5 – 2\sqrt {15} + 3 = 8 – 2\sqrt {15} .\)
• c) \((2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = {2^2} – {(\sqrt 3 )^2} = 4 – 3 = 1.\)

Ví dụ 4: Làm tính nhân:

• a) \((\sqrt {12} – 3\sqrt {75} )\sqrt 3 = \sqrt {12} \sqrt 3 – 3\sqrt {75} \sqrt 3 = \sqrt {36} – 3\sqrt {225} = 6 – 3.15 = – 39.\)
• b) \((\sqrt {18} – 4\sqrt {72} )2\sqrt 2 = \sqrt {18} .2\sqrt 2 – 4\sqrt {72} .2\sqrt 2 = 2\sqrt {36} – 8\sqrt {144} = 2.6 – 8.12 = – 84.\)
• c) \((\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7) = {(\sqrt 6 )^2} + 5\sqrt 6 – 14 = 6 – 14 + 5\sqrt 6 = – 8 + 5\sqrt 6 .\)
• d) \((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5) = {(\sqrt 3 )^2} – 3\sqrt 3 – 10 = 3 – 3\sqrt 3 – 10 = – 7 – 3\sqrt 3 .\)

III. Bài tập

1. Tính:
   • a) \(\sqrt {12.147} .\)
   • b) \(\sqrt {15.240} .\)
   • c) \(\sqrt {3.30.6,4} .\)
   • d) \(\sqrt {1,6.2,5} .\)
   • e) \(\sqrt {33.27.44} .\)
   • f) \(\sqrt {12,1.3,6.25} .\)
2. Khai triển:
   • a) \({(\sqrt 7 + \sqrt 3 )^2}.\)
   • b) \({(\sqrt {11} – \sqrt 5 )^2}.\)
   • c) \({(\sqrt {13} + \sqrt 7 )^2}.\)
   • d) \({(\sqrt x + \sqrt y )^2}.\)
   • e) \({(\sqrt a – \sqrt b )^2}.\)
   • f) \({(\sqrt c + \sqrt d )^2}.\)
3. Làm tính nhân:
   • a) \((\sqrt 3 + 4)(\sqrt 3 + 1).\)
   • b) \((\sqrt 5 – 6)(\sqrt 5 + 4).\)
   • c) \((\sqrt x + 2)(\sqrt x – 3).\)
   • d) \((\sqrt y – 3)(\sqrt y – 4).\)

DẠNG 2. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG – CHIA CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai.
2. Giản ước các phân số trong dấu căn, tìm cách xuất hiện các số chính phương.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

• a) \(\sqrt {\frac{{36}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {36} }}{{\sqrt {169} }} = \frac{6}{{13}}.\)
• b) \(\sqrt {\frac{4}{9}:\frac{{25}}{{36}}} = \sqrt {\frac{4}{9}} :\sqrt {\frac{{25}}{{36}}} = \frac{2}{3}:\frac{5}{6} = \frac{4}{5}.\)
• c) \(\sqrt {0,0144} = \sqrt {\frac{{144}}{{10000}}} = \frac{{12}}{{100}} = 0,12.\)
• d) \(\sqrt {\frac{{4,9}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{7}{5}.\)

Ví dụ 2: Tính:

• a) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {50} }} = \sqrt {\frac{2}{{50}}} = \sqrt {\frac{1}{{25}}} = \frac{1}{5}.\)
• b) \(\frac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{27}}{3}} = \sqrt 9 = 3.\)
• c) \(\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {735} }} = \sqrt {\frac{{15}}{{735}}} = \sqrt {\frac{1}{{49}}} = \frac{1}{7}.\)
• d) \(\frac{{\sqrt {{6^5}} }}{{\sqrt {{2^3}{{.3}^5}} }} = \sqrt {\frac{{{2^5}{{.3}^5}}}{{{2^3}{{.3}^5}}}} = \sqrt 4 = 2.\)

III. Bài tập

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:
   • a) \(\sqrt {\frac{{16}}{{289}}} .\)
   • b) \(\sqrt {\frac{{49}}{{25}}} .\)
   • c) \(\sqrt {1\frac{{15}}{{49}}} .\)
   • d) \(\sqrt {3\frac{{13}}{{81}}} .\)
2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:
   • a) \(\frac{{\sqrt {1300} }}{{\sqrt {13} }}.\)
   • b) \(\frac{{\sqrt {4,8} }}{{\sqrt {0,3} }}.\)
   • c) \(\frac{{\sqrt {150} }}{{\sqrt 6 }}.\)
   • d) \(\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {216} }}.\)

(Các dạng bài tập 3, 4, 5 sẽ được trình bày tương tự như trên, bao gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập luyện tập.)