căn bậc hai của một biểu thức

## Chuyên đề: Căn bậc hai của một biểu thức – Đại số lớp 9 Bài viết này tổng hợp kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp về căn bậc hai của một biểu thức trong chương trình Đại số lớp 9. Nội dung được trình bày chi tiết, có ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. **A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ** **I. Căn thức bậc hai** 1. **Định nghĩa:** Với \(A\) là một biểu thức đại số, \(\sqrt A \) được gọi là căn thức bậc hai của \(A\), còn \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. 2. **Điều kiện xác định (có nghĩa):** \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi và chỉ khi \(A \ge 0\). 3. **Khai căn:** Để khai căn một biểu thức, thường sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\). Việc sử dụng giá trị tuyệt đối là vô cùng quan trọng để đảm bảo tính đúng đắn của kết quả. **II. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối** **Định nghĩa:** \[ \left| A \right| = \begin{cases} A & \text{nếu } A \ge 0 \\ -A & \text{nếu } A < 0 \end{cases} \] **Hệ quả:** a) **Bất đẳng thức:** \(\left| A \right| \ge 0\) với mọi \(A\). b) **Tính đối xứng:** \(|A| = | – A|\). c) **Đẳng thức:** \(|A| = |B| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = B \\ A = – B \end{array} \right.\). d) **Mối liên hệ với dấu:** \(|A| = A \Leftrightarrow A \ge 0\), \(|A| = – A \Leftrightarrow A \le 0\). Giá trị tuyệt đối đóng vai trò quan trọng trong việc rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình và vẽ đồ thị hàm số. **III. Nhắc lại về dấu của một tích, dấu của một thương** 1. **Tích:** \(a.b \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} a \le 0 \\ b \le 0 \end{array} \right.\). 2. **Tích:** \(a.b \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ b \le 0 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} a \le 0 \\ b \ge 0 \end{array} \right.\). 3. **Thương:** \(\frac{a}{b} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ b > 0 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} a \le 0 \\ b < 0 \end{array} \right.\). 4. **Thương:** \(\frac{a}{b} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge 0 \\ b < 0 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l} a \le 0 \\ b > 0 \end{array} \right.\). 5. **Phân số:** \(\frac{1}{a} > 0 \Leftrightarrow a > 0\). **IV. Bổ sung kiến thức: Căn thức đồng dạng** 1. **Định nghĩa:** Hai căn thức bậc hai được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng biểu thức dưới dấu căn. * Ví dụ: \(\sqrt 5 \), \(2\sqrt 5 \), \( – 3\sqrt 5 \) là các căn thức đồng dạng. * Ví dụ: \(\frac{1}{2}\sqrt a \), \(4\sqrt a \), \( – \frac{2}{5}\sqrt a \) (với \(a \ge 0\)) là các căn thức đồng dạng. 2. **Cộng trừ:** Để cộng trừ các căn thức bậc hai, ta thu gọn các căn thức đồng dạng. **B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN** **DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT CĂN THỨC BẬC HAI XÁC ĐỊNH** **I. Phương pháp giải** 1. \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) \(\Leftrightarrow A \ge 0\). 2. Giải bất phương trình \(A \ge 0\). 3. Kết luận. **II. Ví dụ** **Ví dụ 1:** Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: a) \(\sqrt {3x}\). b) \(\sqrt {5 – 2x}\). c) \(\sqrt { – x}\). d) \(\sqrt { – {x^2}}\). * a) \(\sqrt {3x} \) xác định \(\Leftrightarrow 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\). * b) \(\sqrt {5 – 2x} \) xác định \(\Leftrightarrow 5 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow 5 \ge 2x \Leftrightarrow \frac{5}{2} \ge x\). * c) \(\sqrt { – x} \) xác định \(\Leftrightarrow – x \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge x\). * d) \(\sqrt { – {x^2}} \) xác định \(\Leftrightarrow – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge {x^2} \Leftrightarrow 0 \le x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\). **Ví dụ 2:** Với giá trị nào của \(a\) thì mỗi căn thức sau có nghĩa? a) \(\sqrt {\frac{a}{2}}\). b) \(\sqrt { – 4a}\). c) \(\sqrt {3a + 2}\). d) \(\sqrt {5 – a}\). * a) \(\sqrt {\frac{a}{2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{a}{2} \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 0\). * b) \(\sqrt { – 4a} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow – 4a \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 4a \Leftrightarrow 0 \ge a\). * c) \(\sqrt {3a + 2} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow 3a + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3a \ge – 2 \Leftrightarrow a \ge \frac{{ – 2}}{3}\). * d) \(\sqrt {5 – a} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow 5 – a \ge 0 \Leftrightarrow 5 \ge a\). **Ví dụ 3:** Tìm \(x\) để các căn thức sau có nghĩa: a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}}\). b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}}\). c) \(\sqrt {{x^2}}\). d) \(\sqrt { – 4{x^2}}\). * a) \(\sqrt {\frac{1}{{x – 1}}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{1}{{x – 1}} \ge 0 \Leftrightarrow x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\). * b) \(\sqrt {\frac{{ – 2}}{{x + 3}}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{{x + 3}} \ge 0 \Leftrightarrow x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < – 3\). * c) \(\sqrt {{x^2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow {x^2} \ge 0\) (đúng với mọi \(x\)). * d) \(\sqrt { – 4{x^2}} \) có nghĩa \(\Leftrightarrow – 4{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge {x^2} \Leftrightarrow 0 \le x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\). **Ví dụ 4:** Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa: a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)}\). b) \(\sqrt {{x^2} – 4}\). c) \(\sqrt {1 – {x^2}}\). d) \(\sqrt {\frac{{x – 2}}{{x + 3}}}\). **III. Bài tập** 1. Tìm \(x\) để mỗi căn thức sau có nghĩa: a) \(\sqrt {3x – 1}\). b) \(\sqrt {4 – 2x}\). c) \(\sqrt {{x^2} + 1}\). d) \(\sqrt {\frac{4}{{2x – 1}}}\). e) \(\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}}\). f) \(\sqrt {4{x^2} – 1}\). 2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: a) \(A = \sqrt x + \sqrt {x – 1}\). b) \(B = \sqrt {x – 2} – \sqrt {x – 3}\). c) \(C = \sqrt {(x – 2)(x + 3)}\). d) \(D = \sqrt {\frac{{2x – 3}}{{x – 1}}}\). **(Các dạng bài tập còn lại sẽ được trình bày tương tự, bao gồm: Phương pháp giải, ví dụ minh họa, bài tập thực hành.)**