định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất

## Hàm Số Bậc Nhất: Định Nghĩa, Tính Chất và Các Dạng Bài Tập (Đại Số 9) Bài viết này trình bày chi tiết về hàm số bậc nhất, bao gồm định nghĩa, tính chất cơ bản và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Đại số 9. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá những kiến thức nền tảng này một cách chuyên sâu và có hệ thống. **A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ** **1. Định nghĩa** Hàm số bậc nhất là hàm số được biểu diễn bằng công thức \(y = ax + b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số thực cho trước, với điều kiện \(a \neq 0\). \(a\) được gọi là hệ số góc, còn \(b\) là tung độ gốc. **2. Tính chất** Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (tập hợp số thực) và có những tính chất quan trọng sau: * **Đồng biến:** Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a > 0\). Điều này có nghĩa là khi \(x\) tăng, \(y\) cũng tăng. * **Nghịch biến:** Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a < 0\). Khi đó, khi \(x\) tăng, \(y\) lại giảm. **B. CÁC DẠNG BÀI TẬP** **Dạng 1: NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT** **I. Phương pháp giải** Để xác định một hàm số có phải là hàm số bậc nhất hay không, ta thực hiện các bước sau: 1. **Biến đổi:** Viết lại hàm số về dạng \(y = ax + b\). Nếu thiếu hạng tử, ta có thể thêm số 0 (hạng tử tự do) hoặc số 1 (hệ số của x). 2. **Xác định hệ số:** Xác định các hệ số \(a\) (hệ số của \(x\)) và \(b\) (hạng tử tự do). 3. **Kiểm tra điều kiện:** * Nếu \(a \neq 0\), hàm số là hàm số bậc nhất. * Nếu \(a > 0\), hàm số đồng biến. * Nếu \(a < 0\), hàm số nghịch biến. **II. Ví dụ** **Ví dụ 1:** Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào đồng biến, nghịch biến. a) \(y = 1 – 5x\) b) \(y = -0,5x\) c) \(y = \sqrt{2}(x – 1) + \sqrt{3}\) d) \(y = 2x^2 + 3\) e) \(y = 4a + 1\) (với \(a\) là hằng số) * **a)** Viết lại: \(y = -5x + 1\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -5\), \(b = 1\). Vì \(a = -5 < 0\) nên hàm số nghịch biến. * **b)** Viết lại: \(y = -0,5x + 0\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = -0,5\), \(b = 0\). Vì \(a = -0,5 < 0\) nên hàm số nghịch biến. * **c)** Viết lại: \(y = \sqrt{2}x + \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Đây là hàm số bậc nhất với \(a = \sqrt{2}\), \(b = \sqrt{3} – \sqrt{2}\). Vì \(a = \sqrt{2} > 0\) nên hàm số đồng biến. * **d)** Hàm số \(y = 2x^2 + 3\) không phải là hàm số bậc nhất vì có số mũ của \(x\) khác 1. * **e)** Hàm số \(y = 4a + 1\) là hàm hằng (không chứa biến \(x\)), do đó không phải là hàm số bậc nhất. **Ví dụ 2:** Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất? a) \(y = \sqrt{5 – m}(x – 1)\) b) \(y = \frac{m + 1}{m – 1}x + 3,5\) * **a)** Viết lại: \(y = \sqrt{5 – m}x – \sqrt{5 – m}\). Hàm số này là hàm bậc nhất khi và chỉ khi \(a = \sqrt{5 – m} \neq 0\), tức là \(5 – m > 0\) hay \(m < 5\). * **b)** Hàm số \(y = \frac{m + 1}{m – 1}x + 3,5\) là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi \(a = \frac{m + 1}{m – 1} \neq 0\), tức là \(m \neq -1\) và \(m \neq 1\). **Ví dụ 3:** Cho hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 2\) (\(m \neq 1\)). a) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là đồng biến. b) Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y\) là nghịch biến. * **a)** Hàm số đồng biến khi \(a = m – 1 > 0\), tức là \(m > 1\). * **b)** Hàm số nghịch biến khi \(a = m – 1 < 0\), tức là \(m < 1\). **III. Bài tập** 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số \(a\), \(b\) và xét xem hàm số nào là đồng biến, hàm số nào là nghịch biến. a) \(y = 2 – 0,3x\) b) \(y = \frac{3}{2}x\) c) \(y = 4 – x^2\) d) \(y = (\sqrt{3} – 1)x + 2\) e) \(y = \sqrt{3}(\sqrt{2} – x)\) f) \(y + \sqrt{3} = x – \sqrt{2}\) g) \(y = a + \sqrt{3}\) (với \(a\) là hằng số) 2. Với các giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất? a) \(y = \frac{1}{m^2 – 1}(2x – 1)\) b) \(y = \sqrt{1 – 2m}(x + 3)\) 3. Với những giá trị nào của \(m\) thì mỗi hàm số bậc nhất sau đây là hàm nghịch biến? a) \(y = -m^2x + 1\) b) \(y = (1 – 3m)x – 2\) **Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT – GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ** **I. Phương pháp giải** 1. **Tính giá trị của hàm số:** Thay giá trị \(x = x_0\) vào công thức \(y = f(x)\) để tính \(f(x_0)\). 2. **Tính giá trị của biến số:** Thay giá trị \(y\) vào công thức \(y = f(x)\) và giải phương trình để tìm \(x\). **II. Ví dụ** **Ví dụ 1:** Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 – \sqrt{5})x – 1\). a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên tập hợp số thực \(\mathbb{R}\)? Vì sao? b) Tính giá trị của \(y\) khi \(x = 1 + \sqrt{5}\). c) Tính giá trị của \(x\) khi \(y = \sqrt{5}\). * **a)** Hàm số nghịch biến vì \(a = 1 – \sqrt{5} < 0\). * **b)** \(y = (1 – \sqrt{5})(1 + \sqrt{5}) – 1 = 1 – 5 – 1 = -5\). * **c)** \(\sqrt{5} = (1 – \sqrt{5})x – 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5} + 1}{1 – \sqrt{5}} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\). **III. Bài tập** 4. Cho hàm số \(y = (3 + \sqrt{2})x + 2\). a) Tính giá trị tương ứng của \(y\) khi cho \(x\) nhận các giá trị sau: \(0\), \(1\), \(\sqrt{2}\), \(3 – \sqrt{2}\), \(3 + \sqrt{2}\). b) Tính giá trị tương ứng của \(x\) khi cho \(y\) nhận các giá trị sau: \(0\), \(1\), \(4\), \(2 – \sqrt{2}\), \(2 + \sqrt{2}\). **Dạng 3: LẬP CÔNG THỨC MỘT HÀM SỐ** **I. Phương pháp giải** 1. Xác định mối quan hệ giữa các đại lượng. 2. Biểu diễn các đại lượng theo biến số. 3. Lập công thức hàm số. **II. Ví dụ** **III. Bài tập** 5. Hãy lập công thức biểu thị \(y\) theo \(x\) được cho dưới đây. Công thức nào là hàm số bậc nhất? a) Diện tích tam giác \(y\) (\(cm^2\)) có đáy là \(x\) (cm) và chiều cao tương ứng là \(5\) (cm). b) Chu vi \(y\) của hình thoi và cạnh \(x\) của nó. c) Diện tích \(y\) (\(m^2\)) của hình vuông với cạnh \(x\) (m). d) Chu vi \(y\) của đường tròn với bán kính \(x\) của nó.