giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

## Hướng dẫn Giải Phương trình và Hệ Phương trình Bậc Nhất Hai Ẩn Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bao gồm kiến thức nền tảng, các phương pháp giải và ví dụ minh họa. **A. Kiến thức Cần Nhớ** 1. **Phương trình bậc nhất hai ẩn:** Là phương trình có dạng \(ax + by = c\), trong đó \(x\), \(y\) là ẩn, \(a\), \(b\), \(c\) là các số cho trước và \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0. 2. **Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:** Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) luôn có vô số nghiệm \((x; y)\). * **Công thức nghiệm tổng quát:** * Nếu \(b \neq 0\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t \in \mathbb{R}} \\ {y = \frac{{c – at}}{b}} \end{array}} \right.\) * Nếu \(a \neq 0\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{{c – bt}}{a}} \\ {y = t \in \mathbb{R}} \end{array}} \right.\) * **Nghiệm nguyên:** Phương trình \(ax + by = c\) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(c\) chia hết cho ƯCLN\((a, b)\). 3. **Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:** Có dạng: \(\left( I \right)\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {ax + by = c} \\ {a’x + b’y = c’} \end{array}} \right.\) trong đó \(a\) và \(b\) cũng như \(a’\) và \(b’\) không đồng thời bằng 0. * **Xác định nghiệm của hệ:** * Nếu \(\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}\), hệ \((I)\) có nghiệm duy nhất. * Nếu \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}\), hệ \((I)\) vô nghiệm. * Nếu \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}\), hệ \((I)\) có vô số nghiệm. 4. **Các phương pháp giải hệ phương trình:** * **Phương pháp thế:** * Biến đổi hệ phương trình để có một phương trình một ẩn. * Giải phương trình một ẩn và suy ra nghiệm của hệ. * **Phương pháp cộng đại số:** * Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ để hệ số của một ẩn bằng nhau. * Cộng hai phương trình để được một phương trình một ẩn. * Giải phương trình một ẩn và suy ra nghiệm của hệ. **B. Một Số Ví Dụ** **Ví dụ 1:** Cho phương trình \(3x – 2y = 6\) \((1)\). a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình \((1)\). b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \((1)\). *Giải:* a) Từ \(3x – 2y = 6\) suy ra \(y = \frac{3x – 6}{2}\). Đặt \(x = t\) (với \(t \in \mathbb{R}\)), ta được công thức nghiệm tổng quát: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = t} \\ {y = \frac{3t – 6}{2}} \end{array}} \right.\) b) Ta có \(y = \frac{3x – 6}{2} = x + \frac{x – 6}{2}\). Đặt \(\frac{x – 6}{2} = t\) (với \(t \in \mathbb{Z}\)), suy ra \(x = 2t + 6\). Khi đó, nghiệm nguyên của phương trình \((1)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2t + 6} \\ {y = 3t + 6} \end{array}} \right.\) (với \(t \in \mathbb{Z}\)). Ví dụ: Với \(t = 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 8} \\ {y = 9} \end{array}} \right.\); với \(t = 2\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 10} \\ {y = 12} \end{array}} \right.\). **Ví dụ 2:** Tìm nghiệm nguyên \((x; y)\) của phương trình \((x – 3)y^2 = x^2\) \((2)\). *Giải:* Với \(x = 3\), phương trình trở thành \(0 \cdot y^2 = 9\), vô nghiệm. Với \(x \neq 3\), ta có \(y^2 = \frac{x^2}{x – 3} = \frac{x^2 – 9 + 9}{x – 3} = x + 3 + \frac{9}{x – 3}\). Vì \(x, y \in \mathbb{Z}\) nên \(\frac{9}{x – 3} \in \mathbb{Z}\). Do đó, \(x – 3 \in \text{Ư}(9) = \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9 \}\). (Bảng giá trị được cung cấp trong bài gốc) Vậy các nghiệm nguyên của phương trình \((2)\) là: \((0; 0)\), \((4; 4)\), \((4; -4)\), \((12; 4)\), \((12; -4)\). **Nhận xét:** Phương pháp giải trong ví dụ này là phương pháp tách giá trị nguyên. **Ví dụ 3:** Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – 5y = 19} \\ {3x + 2y = 6} \end{array}} \right.\) *Giải:* (Giải bằng cả phương pháp thế và phương pháp cộng) **Ví dụ 4:** Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{3}{x + y} + \frac{10}{x – y} = 1} \\ {\frac{5}{x + y} + \frac{6}{x – y} = -1} \end{array}} \right.\) *Giải:* (Đặt ẩn phụ) **Ví dụ 5:** Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m – 1)x – y = 2} \\ {mx + y = m} \end{array}} \right.\) *Giải:* (Tìm điều kiện của tham số m) **Ví dụ 6:** Giải hệ phương trình ba ẩn số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + 2y – 3z = 11} \\ {2x – y – z = 7} \\ {x + y = 6} \end{array}} \right.\) *Giải:* (Phương pháp thế) **C. Bài Tập** (Các bài tập được cung cấp trong bài gốc) **D. Hướng Dẫn Giải và Đáp Số** (Đáp án chi tiết cho các bài tập được cung cấp trong bài gốc)