hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

## Chuyên đề: Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Bí Quyết và Luyện Tập Chào các em học sinh thân mến! Chuyên đề hôm nay sẽ đi sâu vào phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng của chương trình Đại số 9. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại lý thuyết, phân tích các dạng bài tập thường gặp và luyện tập thông qua các ví dụ minh họa chi tiết. **A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ** Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một công cụ mạnh mẽ để mô tả và giải quyết các bài toán thực tế. Nắm vững kiến thức cơ bản là bước đầu tiên để chinh phục chuyên đề này. 1. **Nghiệm của hệ phương trình:** Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}}\\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} \end{array}} \right.\) (với \(a_1^2 + b_1^2 \ne 0, a_2^2 + b_2^2 \ne 0\)) có nghiệm \((x_0; y_0)\) khi và chỉ khi cặp số này thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. 2. **Giải hệ phương trình:** Giải hệ phương trình chính là tìm tập nghiệm của nó. 3. **Mối liên hệ giữa nghiệm và đồ thị:** Số nghiệm của hệ phương trình tương ứng với số giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn các phương trình trong hệ. * Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đường thẳng cắt nhau. * Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng song song. * Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi hai đường thẳng trùng nhau. 4. **Hệ tương đương:** Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Đặc biệt, hai hệ cùng vô nghiệm cũng được coi là tương đương. 5. **Phương pháp thế:** * Biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại từ một phương trình. * Thay thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại. * Giải phương trình một ẩn thu được và tìm nghiệm của hệ. 6. **Phương pháp cộng đại số:** * Nhân các phương trình với hệ số thích hợp để tạo ra các hệ số đối nhau của một ẩn. * Cộng (hoặc trừ) các phương trình để loại bỏ một ẩn. * Giải phương trình một ẩn còn lại và tìm nghiệm của hệ. 7. **Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:** * *Bước 1:* Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết. Lập hệ phương trình. * *Bước 2:* Giải hệ phương trình. * *Bước 3:* Kiểm tra điều kiện và kết luận. **B. CÁC DẠNG BÀI TẬP** **Dạng 1: Xét sự tồn tại nghiệm và biểu diễn nghiệm** * **Phương pháp giải:** * Thử trực tiếp cặp số đã cho vào hệ phương trình. * Phân tích đặc điểm riêng của từng phương trình. * Vẽ đồ thị của các phương trình để xác định vị trí tương đối của chúng. * **Lưu ý:** * Nếu một phương trình vô nghiệm thì cả hệ vô nghiệm. * Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng. **Ví dụ 1:** Hai hệ phương trình cùng có vô số nghiệm liệu có tương đương với nhau không? **Trả lời:** Không nhất thiết. Hai hệ phương trình có vô số nghiệm chưa chắc đã tương đương. Ví dụ: Hệ (I): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – y = 0}\\ {2x – 2y = 0} \end{array}} \right.\) và Hệ (II): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x + y = 0}\\ {3x + 3y = 0} \end{array}} \right.\) Cả hai hệ đều có vô số nghiệm, nhưng tập nghiệm của hệ (I) là đường thẳng \(y = x\), còn tập nghiệm của hệ (II) là đường thẳng \(y = -x\). Hai đường thẳng này không trùng nhau, do đó hai hệ không tương đương. **Ví dụ 2:** Với giá trị nào của \(m\) và \(n\) thì hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {mx – y = 1}\\ {x + y = n} \end{array}} \right.\) nhận cặp số \((-1; 0)\) làm nghiệm? **Trả lời:** Thay \(x = -1\) và \(y = 0\) vào hệ, ta được: \(-m – 0 = 1\) và \(-1 + 0 = n\) Suy ra \(m = -1\) và \(n = -1\). **Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế** * **Phương pháp giải:** Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần kiến thức cần nhớ. **Ví dụ 1:** Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x + y = 12}\\ {7x – 2y = 31} \end{array}} \right.\) **Trả lời:** Từ phương trình thứ nhất, ta có \(y = 12 – 2x\). Thay vào phương trình thứ hai: \(7x – 2(12 – 2x) = 31\) \(7x – 24 + 4x = 31\) \(11x = 55\) \(x = 5\) Thay \(x = 5\) vào \(y = 12 – 2x\), ta được \(y = 2\). Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (5; 2)\). **Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số** * **Phương pháp giải:** Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần kiến thức cần nhớ. **Ví dụ 1:** Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x – 5y = 93}\\ {5x – 4y = 103} \end{array}} \right.\) **Trả lời:** Nhân phương trình thứ nhất với 5 và phương trình thứ hai với 3, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {15x – 25y = 465}\\ {15x – 12y = 309} \end{array}} \right.\) Trừ hai phương trình, ta được: \(-13y = 156\) hay \(y = -12\). Thay \(y = -12\) vào \(3x – 5y = 93\), ta được \(3x + 60 = 93\) hay \(x = 11\). Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (11; -12)\). **Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình** * **Phương pháp giải:** Thực hiện theo các bước đã nêu ở phần kiến thức cần nhớ. **Ví dụ 1:** Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km? **Trả lời:** Gọi vận tốc ô tô là \(x\) (km/h) và vận tốc tàu hỏa là \(y\) (km/h). Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x + 7y = 640}\\ {y – x = 5} \end{array}} \right.\) Giải hệ này, ta được \(x = 55\) và \(y = 60\). Vậy vận tốc ô tô là 55 km/h và vận tốc tàu hỏa là 60 km/h. Hy vọng với chuyên đề này, các em đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúc các em học tập tốt!