rút gọn và tính giá trị của biểu thức

## Hướng dẫn Giải và Rút gọn Biểu thức Đại số chứa Căn thức – Phân tích Chuyên sâu Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải và rút gọn các biểu thức đại số có chứa căn thức bậc hai, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể và phân tích chuyên sâu để người học nắm vững kiến thức. **A. Kiến thức Cần Nhớ** Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, cần vận dụng linh hoạt các phép tính về căn thức và các phép biến đổi biểu thức đơn giản. Khi kết hợp các phép biến đổi căn thức với các biến đổi phân thức, cần lưu ý những điểm sau: * **Điều kiện xác định (ĐKXĐ):** Luôn xác định ĐKXĐ cho cả căn thức và phân thức trước khi thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào. * Căn thức \(\sqrt{A}\) có nghĩa khi \(A \ge 0\). * **Ví dụ:** Biểu thức \(\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l} x+2 \ge 0 \\ x-1 \ne 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -2 \\ x \ne 1 \end{array} \right.\). * **Xử lý dấu giá trị tuyệt đối:** \(\sqrt{A^2} = |A| = \left\{ \begin{array}{l} A \text{ nếu } A \ge 0 \\ -A \text{ nếu } A < 0 \end{array} \right.\). * **Mục tiêu rút gọn:** Kết quả rút gọn cuối cùng có thể khác nhau tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán. Đôi khi, cần rút gọn đến mức tối giản, đôi khi cần đưa về một dạng cụ thể để thuận tiện cho việc tính toán hoặc phân tích tiếp theo. * **Ví dụ:** Sau khi rút gọn biểu thức \(P = \frac{x - 4\sqrt{x} + 3}{x - 1}\) thành \(P = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}\), ta có thể tiếp tục rút gọn thành \(P = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}\) (với \(x \ne 1\)). Từ đây, có thể giải các bài toán liên quan như tìm \(x\) để \(P\) dương, \(P\) bằng một giá trị \(k\) cho trước, hoặc \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất. **B. Các Ví dụ Minh Họa** **Ví dụ 1:** Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\). * **Giải:** \(A = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} - \sqrt{4 + 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} - \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{3} - 1| - |2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 - (2 + \sqrt{3}) = -3\). * **Nhận xét:** Các biểu thức \(4 - 2\sqrt{3}\) và \(7 + 4\sqrt{3}\) có dạng \(m \pm p\sqrt{n}\), trong đó \(p\sqrt{n} = 2ab\) với \(a^2 + b^2 = m\). Những biểu thức này thường có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. **Ví dụ 2:** Rút gọn biểu thức \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\). * **Cách 1:** \(B = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} - \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\). * **Cách 2:** \(B = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\). \(B^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = 10 - 2\sqrt{25 - 24} = 10 - 2\sqrt{1} = 8\). Vì \(B > 0\) nên \(B = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). * **Nhận xét:** Các biểu thức \(5 + 2\sqrt{6}\) và \(5 - 2\sqrt{6}\) là hai biểu thức liên hợp. Khi gặp các biểu thức liên hợp, có thể tính \(B^2\) trước rồi suy ra \(B\). **Ví dụ 3:** Rút gọn biểu thức \(C = \sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}}\). * **ĐKXĐ:** \(x \ge -1\). * **Cách 1:** \(C = \sqrt{x + 1 - 2\sqrt{x + 1} + 1} + \sqrt{x + 1 + 2\sqrt{x + 1} + 1} = \sqrt{(\sqrt{x + 1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 1} + 1)^2} = |\sqrt{x + 1} - 1| + |\sqrt{x + 1} + 1|\). * Nếu \(x \ge 0\) thì \(C = \sqrt{x + 1} - 1 + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\sqrt{x + 1}\). * Nếu \(-1 \le x < 0\) thì \(C = 1 - \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1 = 2\). * **Cách 2:** \(C^2 = x + 2 - 2\sqrt{x + 1} + x + 2 + 2\sqrt{x + 1} + 2\sqrt{(x + 2)^2 - 4(x + 1)} = 2x + 4 + 2\sqrt{x^2} = 2x + 4 + 2|x|\). * Nếu \(x \ge 0\) thì \(C^2 = 4(x + 1)\) suy ra \(C = 2\sqrt{x + 1}\). * Nếu \(-1 \le x < 0\) thì \(C^2 = 2x + 4 - 2x = 4\) suy ra \(C = 2\). **Ví dụ 4:** Chứng minh các đẳng thức: a) \(\left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2\sqrt{2} - 2} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2\sqrt{3} - 2} \right) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = 1\). b) \(\frac{4}{3 + \sqrt{5}} + \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 7\). * **Giải:** a) \(VT = \left[ \frac{\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)}{2(\sqrt{2} - 1)} + \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3} - 1)} \right] : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \left[ \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right] \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = \frac{7 - 5}{2} = 1 = VP\). b) \(VT = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4} + \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{4} - |2 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2 - (\sqrt{5} - 2) = 7 = VP\). * **Nhận xét:** Cách giải trên đơn giản nhờ trục căn thức ở mẫu. **Ví dụ 5 & 6:** (Đã được trình bày chi tiết trong nội dung gốc, không lặp lại). **C. Bài tập** (Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc, không lặp lại). **D. Hướng dẫn Giải và Đáp số** (Các hướng dẫn giải và đáp số đã được cung cấp trong nội dung gốc, không lặp lại).