hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT VỀ HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG \(y = ax + b\)

Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn toàn diện về hệ số góc của đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) (với \(a \neq 0\)), bao gồm kiến thức nền tảng, phương pháp xác định, ví dụ minh họa và bài tập thực hành.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a\). Hệ số góc \(a\) quyết định độ dốc của đường thẳng.
• Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) với tia \(Ox\).
• Nếu \(\alpha < 90^\circ\) thì \(a > 0\). Khi đó, đường thẳng có xu hướng đi lên khi \(x\) tăng.
• Nếu \(\alpha > 90^\circ\) thì \(a < 0\). Khi đó, đường thẳng có xu hướng đi xuống khi \(x\) tăng.
• Các đường thẳng có cùng hệ số góc \(a\) (với \(a\) là hệ số của \(x\)) thì tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau. Điều này có nghĩa là chúng song song với nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương pháp giải

1. Xác định hàm số: Đảm bảo bạn có phương trình đường thẳng ở dạng \(y = ax + b\).
2. Sử dụng tính chất đường thẳng song song: Nếu đường thẳng cần tìm song song với một đường thẳng đã biết có hệ số góc \(a'\), thì hệ số góc của đường thẳng cần tìm cũng là \(a'\).
3. Sử dụng góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\): Nếu biết góc \(\alpha\) tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\), ta có \(a = \tan \alpha\).
4. Xác định hệ số góc qua điểm thuộc đường thẳng: Nếu đường thẳng đi qua một điểm \(M(x_0; y_0)\), ta thay \(x_0\) và \(y_0\) vào phương trình \(y = ax + b\) để tìm \(a\).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3\).

a) Xác định hệ số góc \(a\) biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M(2;6)\).

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Vì đồ thị đi qua \(M(2;6)\), ta có: \(6 = a(2) + 3 \Leftrightarrow 2a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\). Vậy hệ số góc \(a = \frac{3}{2}\). Hàm số có dạng \(y = \frac{3}{2}x + 3\).

b) Học sinh tự vẽ đồ thị bằng cách xác định thêm một vài điểm hoặc sử dụng các kiến thức về đồ thị hàm số bậc nhất.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = -2x + 3\).

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox\) (làm tròn đến phút).

a) Lập bảng giá trị:

Từ bảng giá trị, ta có hai điểm \(A(0;3)\) và \(B(1.5;0)\). Nối \(A\) và \(B\) ta được đồ thị hàm số.

b) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\). Ta có \(\tan \alpha = -2\). Suy ra \(\alpha = \arctan(-2) \approx -63.43^\circ\). Vì góc tạo bởi đường thẳng và trục \(Ox\) thường được tính trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), ta có \(\alpha \approx 180^\circ - 63.43^\circ \approx 116^\circ 31'\).

Ví dụ 3:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau:

\(y = – x + 2\).

\(y = \frac{1}{2}x + 2\).

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(y = -x + 2\) và \(y = \frac{1}{2}x + 2\) với trục hoành theo thứ tự là \(A\), \(B\) và giao điểm của chúng là \(C\). Tính các góc của tam giác \(ABC\).

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên trục toạ độ là cm).

(Giải tương tự như trong bài gốc, tập trung vào việc trình bày rõ ràng các bước và sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác.)

Ví dụ 4:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\), \(y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x + \sqrt 3 \), \(y = \sqrt 3 x – \sqrt 3 .\).

b) Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục \(Ox\), chứng minh rằng \(\tan \alpha = 1\), \(\tan \beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\), \(\tan \gamma = \sqrt 3 .\) Tính số đo các góc \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma .\)

(Giải tương tự như trong bài gốc, chú trọng việc giải thích rõ ràng mối liên hệ giữa hệ số góc và góc tạo bởi đường thẳng với trục \(Ox\).)

III. Bài tập luyện tập

1. Cho hàm số bậc nhất \(y = ax – 3\). Hãy xác định hệ số \(a\) trong mỗi trường hợp sau:
   • a) Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng \(y = 2x – 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
   • b) Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng \(y = -3x + 1\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\).
2. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và:
   • a) Đi qua điểm \(M(1;2)\).
   • b) Đi qua điểm \(N(-2;1)\).
   • c) Có nhận xét gì về hai đường thẳng trên.
   • d) Vẽ đồ thị của các đường thẳng tìm được ở hai câu a, b trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

(Giải chi tiết các bài tập, cung cấp các bước giải rõ ràng và dễ hiểu.)