chinh phục các bài toán cực trị mũ và logarit – nguyễn minh tuấn

Chuyên đề: Cực trị hàm mũ và logarit – Phân tích và phương pháp giải

Kỳ thi THPT Quốc Gia 2018 đã đánh dấu sự xuất hiện của các bài toán cực trị liên quan đến hàm mũ và logarit, một xu hướng mới và tạo ra thách thức không nhỏ cho thí sinh. Bài viết này, dựa trên phân tích của tác giả Nguyễn Minh Tuấn, sẽ đi sâu vào các phương pháp giải quyết dạng toán này, đồng thời mở rộng và nâng cao kiến thức cho học sinh.

I. Nền tảng kiến thức cần nắm vững

Để tiếp cận và giải quyết hiệu quả các bài toán cực trị mũ và logarit, học sinh cần trang bị vững chắc các kiến thức sau:

• Bất đẳng thức cơ bản: AM – GM, Cauchy – Schwarz, Minkowski, Holder, bất đẳng thức trị tuyệt đối. Việc hiểu rõ điều kiện áp dụng và kỹ năng biến đổi các bất đẳng thức này là vô cùng quan trọng.
• Kiến thức về hàm số: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, tính chất đơn điệu của hàm số, khả năng xét dấu và lập bảng biến thiên.
• Tính chất của hàm mũ và logarit: Các quy tắc biến đổi, tính chất tăng giảm, và mối liên hệ giữa hàm mũ và logarit.

II. Các dạng toán cực trị mũ – logarit thường gặp

1. Kỹ thuật rút thế – Đánh giá và đưa về hàm một biến số:

   Đây là phương pháp tiếp cận cơ bản và phổ biến nhất. Ý tưởng chính là sử dụng các giả thiết của bài toán để rút gọn biểu thức, loại bỏ bớt các biến số, từ đó đưa bài toán về dạng khảo sát hàm một biến. Việc này thường kết hợp với việc sử dụng đạo hàm để tìm cực trị hoặc các bất đẳng thức để đánh giá.

2. Sử dụng hàm đặc trưng:

   Một số bài toán cung cấp phương trình hàm đặc trưng. Nhiệm vụ của người giải là tìm ra mối liên hệ giữa các biến số thông qua hàm đặc trưng này, sau đó rút thế vào các giả thiết còn lại để giải quyết bài toán. Kỹ năng biến đổi đại số và hiểu biết về đạo hàm đóng vai trò then chốt trong phương pháp này.

3. Bài toán liên quan đến định lý Vi-et:

   Dạng toán này thường yêu cầu đưa phương trình logarit về dạng tam thức bậc hai. Sau đó, áp dụng định lý Vi-et và các phép biến đổi logarit để tìm ra mối liên hệ giữa các nghiệm và giải quyết bài toán.

4. Bài toán liên quan đến biểu thức log_b a:

   Phương pháp giải quyết ở đây là biến đổi giả thiết theo ẩn log_b a, từ đó đưa bài toán về dạng khảo sát hàm số đơn giản hơn. Việc này giúp đơn giản hóa biểu thức và dễ dàng tìm ra cực trị.

5. Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức:

   Đây là trọng tâm của chuyên đề, xuất phát từ các đề thi THPT Quốc Gia gần đây. Phương pháp này đòi hỏi sự linh hoạt trong việc lựa chọn và áp dụng các bất đẳng thức phù hợp để đánh giá biểu thức, từ đó tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.

6. Bài toán có tham số:

   Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải xét các trường hợp khác nhau của tham số, sử dụng các phương pháp như xét dấu, lập bảng biến thiên, hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

7. Bài toán về dãy số:

   Các bài toán về dãy số thường kết hợp kiến thức về hàm mũ và logarit với các công thức tính tổng, tích của dãy số. Việc tìm ra quy luật của dãy số và sử dụng các phương pháp chứng minh quy nạp là chìa khóa để giải quyết dạng toán này.

Nhận xét và đánh giá:

Chuyên đề cực trị hàm mũ và logarit đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức về bất đẳng thức, hàm số và các tính chất đặc trưng của hàm mũ, logarit. Việc nắm vững các phương pháp giải quyết từng dạng toán, cùng với khả năng phân tích và biến đổi linh hoạt, sẽ giúp học sinh tự tin đối mặt với các bài toán khó trong kỳ thi THPT Quốc Gia.