Cộng, trừ phân thức

Cộng, Trừ Phân Thức - Lý Thuyết Toán 8 Chương 6

Phân thức đại số là biểu thức hai đa thức liên kết với nhau bởi phép chia. Để thực hiện các phép toán cộng, trừ phân thức, chúng ta cần nắm vững các quy tắc và tính chất cơ bản.

1. Phân Thức Bằng Nhau (Tương Đương)

Hai phân thức được gọi là bằng nhau (tương đương) nếu chúng có cùng mẫu số và tử số, hoặc nếu tử số của phân thức này bằng tích của một đa thức với tử số của phân thức kia, và mẫu số của phân thức này bằng tích của đa thức đó với mẫu số của phân thức kia. Ví dụ: \frac{a}{b} = \frac{ac}{bc} (với b \neq 0, c \neq 0).

2. Quy Đồng Mẫu Thức

Quy đồng mẫu thức là việc biến đổi các phân thức có mẫu số khác nhau thành các phân thức có cùng mẫu số. Mẫu số chung thường được chọn là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số ban đầu. Để quy đồng, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm BCNN của các mẫu số.
2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số bằng cách chia BCNN cho mẫu số đó.
3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng.

3. Cộng, Trừ Phân Thức Có Mẫu Số Khác Nhau

Để cộng hoặc trừ các phân thức có mẫu số khác nhau, ta thực hiện các bước sau:

1. Quy đồng mẫu thức của các phân thức.
2. Cộng hoặc trừ các tử số, giữ nguyên mẫu số chung.
3. Rút gọn kết quả (nếu có thể).

Công thức tổng quát:

\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + BC}{BD} (với B \neq 0, D \neq 0)

\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD - BC}{BD} (với B \neq 0, D \neq 0)

4. Cộng, Trừ Phân Thức Có Mẫu Số Giống Nhau

Nếu các phân thức có cùng mẫu số, ta cộng hoặc trừ các tử số, giữ nguyên mẫu số. Ví dụ:

\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B} (với B \neq 0)

\frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A - C}{B} (với B \neq 0)

5. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}

Giải:

1. Mẫu số chung: (x+1)(x-1)
2. Thừa số phụ: \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)} = x-1 và \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)} = x+1
3. Quy đồng: \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}
4. Cộng: \frac{2x - 2 + 3x + 3}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x + 1}{(x+1)(x-1)}

Ví dụ 2: Tính \frac{x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x+1}

Giải:

1. Mẫu số chung: x^2 - 1 = (x+1)(x-1)
2. Thừa số phụ: \frac{(x+1)(x-1)}{x^2 - 1} = 1 và \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1
3. Quy đồng: \frac{x}{(x+1)(x-1)} - \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}
4. Trừ: \frac{x - (x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{(x+1)(x-1)}

6. Lưu Ý Quan Trọng

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của phân thức (mẫu số khác 0).
• Rút gọn phân thức trước khi thực hiện các phép toán cộng, trừ để đơn giản hóa bài toán.
• Sử dụng các quy tắc biến đổi đại số để tìm ra kết quả chính xác.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách cộng, trừ phân thức trong chương trình Toán 8. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.