Đa thức một biến

Đa thức một biến là một biểu thức đại số trong đó các số hạng chỉ chứa một biến và các hệ số. Hiểu rõ về đa thức một biến là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức toán học nâng cao hơn.

1. Biểu thức đại số

Biểu thức đại số là sự kết hợp của các số, các biến và các phép toán. Ví dụ: 3x + 5, 2y - 7, a² + b². Biểu thức đại số có thể có một hoặc nhiều biến.

2. Đa thức một biến

Đa thức một biến là biểu thức đại số chỉ chứa một biến và các hệ số. Ví dụ: 5x² + 3x - 2, -2y³ + y - 1. Đa thức một biến có dạng tổng quát:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Trong đó:

x là biến
a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ là các hệ số
n là số mũ lớn nhất của biến x (bậc của đa thức)

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức. Ví dụ:

Đa thức 3x² + 5x - 1 có bậc là 2
Đa thức -2x³ + x - 7 có bậc là 3
Đa thức 5x + 2 có bậc là 1
Đa thức 7 có bậc là 0 (đây là đa thức không)

4. Hệ số của đa thức

Hệ số của đa thức là các số đứng trước biến. Ví dụ:

Trong đa thức 2x² + 3x - 5, hệ số của x² là 2, hệ số của x là 3, hệ số tự do là -5

5. Các phép toán trên đa thức một biến

Có các phép toán cơ bản trên đa thức một biến như:

Cộng đa thức: Cộng các hệ số của các số hạng có cùng bậc.
Trừ đa thức: Trừ các hệ số của các số hạng có cùng bậc.
Nhân đa thức: Sử dụng quy tắc nhân đa thức.
Chia đa thức: Sử dụng phương pháp chia đa thức.

6. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = 2x² - 3x + 1 và Q(x) = x² + 2x - 5. Tính P(x) + Q(x).

Giải:

P(x) + Q(x) = (2x² - 3x + 1) + (x² + 2x - 5) = (2x² + x²) + (-3x + 2x) + (1 - 5) = 3x² - x - 4

Ví dụ 2: Cho đa thức A(x) = 4x³ - 2x² + x và B(x) = -x³ + 5x² - 3x + 2. Tính A(x) - B(x).

Giải:

A(x) - B(x) = (4x³ - 2x² + x) - (-x³ + 5x² - 3x + 2) = (4x³ + x³) + (-2x² - 5x²) + (x + 3x) + (-2) = 5x³ - 7x² + 4x - 2

7. Bài tập luyện tập

Cho đa thức P(x) = 3x² + 2x - 1 và Q(x) = -2x² + x + 3. Tính P(x) + Q(x).
Cho đa thức A(x) = x³ - 4x² + 5x - 2 và B(x) = x³ + 2x² - x + 1. Tính A(x) - B(x).
Tìm bậc của đa thức 5x⁴ - 3x² + 7x - 9.
Tìm hệ số của x² trong đa thức -2x³ + 4x² - x + 6.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đa thức một biến. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan.