giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán THPT cấp Quốc gia năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày, ngày 21/09/2022 (vòng 1) và ngày 22/09/2022 (vòng 2). Bộ đề này là tài liệu quý báu cho quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, quốc gia.
Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:
Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x; y) sao cho x2 + 3y và y2 + 3x đều là các số chính phương.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi sự kết hợp giữa việc ước lượng và sử dụng tính chất của số chính phương. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kỹ năng về biến đổi đại số, đánh giá và xét các trường hợp có thể xảy ra. Bài toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi thí sinh có khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
Số nguyên dương n được gọi là “hợp lý” nếu mọi số chính phương khi chia cho n đều được số dư là số chính phương.
a) Chứng minh n = 16 là số “hợp lý”.
b) Chứng minh rằng mọi số “hợp lý” đều không vượt quá 500.
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán số học khá thú vị và mang tính chất khám phá. Phần a yêu cầu chứng minh một trường hợp cụ thể, giúp học sinh làm quen với định nghĩa của số “hợp lý”. Phần b là phần khó hơn, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng về số học, đặc biệt là các tính chất của số chính phương và phép chia có dư. Việc chứng minh giới hạn trên của số “hợp lý” đòi hỏi sự suy luận chặt chẽ và sử dụng các kỹ thuật đánh giá.
Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Hai điểm E, F lần lượt thuộc cạnh CA, AB (E và F không thuộc {A;B;C}) sao cho EF song song với BC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua EF.
a) Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt đường tròn (O) tại H (H khác A). Chứng minh ba đường thẳng DH, BE, CF đồng quy.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CF. Đường tròn đi qua E, F tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm L (L khác A). Chứng minh ba điểm L, D, I thẳng hàng.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các tính chất của đường tròn nội tiếp, đường thẳng song song và đối xứng. Phần a yêu cầu chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng, thường được giải quyết bằng cách sử dụng định lý Ceva hoặc định lý Menelaus. Phần b là phần khó hơn, đòi hỏi sự kết hợp giữa các kiến thức về hình học phẳng và hình học không gian, cũng như khả năng suy luận logic và vẽ hình chính xác. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và giải quyết vấn đề hình học phức tạp của học sinh.
Bộ đề thi này là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán. giaibaitoan.com hy vọng rằng các em sẽ sử dụng bộ đề này một cách hiệu quả để đạt được kết quả tốt nhất.
