đề thi chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà nam

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Nam tổ chức. Đề thi này là tài liệu quý báu, hữu ích cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và thành lập đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia.

Bộ đề bao gồm 3 bài toán, được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC có AB < AC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Phân giác trong của góc BAC cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại X, Y. Gọi S, T là các điểm nằm trên cạnh BC sao cho XSY = XTY = 90°.

   • 1. Chứng minh rằng BX, CY là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính XY.
   • 2. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học điển hình, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất tiếp tuyến và góc. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố hình học và vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất đã học. Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở việc chứng minh các tiếp tuyến và sự tiếp xúc của các đường tròn.

2. Bài 2: Đại số

   Xét các số a, b, c nguyên, c >= 0 thỏa mãn aⁿ + 2ⁿ là ước của bⁿ + c với mọi n nguyên dương.

   • 1. Chứng minh rằng c = 0 hoặc c = 1.
   • 2. Khi c = 1, chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.

   Nhận xét: Bài toán đại số này tập trung vào việc sử dụng tính chất chia hết và các ước số. Để giải quyết bài toán, học sinh cần nắm vững các định lý về chia hết, đặc biệt là các trường hợp đặc biệt của chia hết. Phần 2 của bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về số chính phương và khả năng chứng minh phản chứng.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Với mỗi số tự nhiên n >= 4, ký hiệu a_n là số nhỏ nhất các tập con có 3 phần tử của tập hợp S_n = {1; 2; 3; …; n} sao cho với mọi tập con có 4 phần tử của S_n luôn chứa ít nhất một trong các tập con có 3 phần tử này.

   • 1. Xác định a₆.
   • 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >= 4 thì a_n >= (1/4).nC₃.

   Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá mới lạ, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy trừu tượng và xây dựng các tập hợp con một cách hợp lý. Bài toán yêu cầu học sinh phải hiểu rõ khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử và vận dụng linh hoạt các công thức tính tổ hợp. Phần 2 của bài toán đòi hỏi học sinh phải chứng minh một bất đẳng thức, điều này đòi hỏi sự khéo léo trong việc lựa chọn phương pháp chứng minh.

Bộ đề thi này là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.