đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt kiên giang

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang tổ chức. Kỳ thi diễn ra trong hai ngày 30 và 31 tháng 8 năm 2022, là một bước đệm quan trọng để phát hiện và bồi dưỡng những tài năng toán học trẻ của tỉnh.

Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Dãy đa thức

   Cho dãy đa thức (Pn(x)) xác định bởi: P0(x) = x³ – 4x và P_n+1(x) = P_n(1 + x).P_n(1 – x) – 1 với mọi số tự nhiên n và mọi x thuộc R.

   • a) Tính P₂₀₂₂(2).
   • b) Chứng minh rằng, tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho P₂₀₂₂(x) = x²⁰²³.Q(x) với mọi x thuộc R.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc khám phá tính chất của dãy đa thức đệ quy. Phần a yêu cầu tính toán cụ thể, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các kỹ năng biến đổi đa thức. Phần b là một bài toán chứng minh mang tính chất khám phá, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và suy luận logic để tìm ra mối liên hệ giữa P₂₀₂₂(x) và x²⁰²³.

2. Bài 2: Tổ hợp

   Cho số nguyên n ≥ 2. Xét m là một số nguyên dương sao cho tồn tại một tập hợp T thỏa mãn đồng thời các tính chất sau đây:

   • Mỗi phần tử của T là một tập con m phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn}.
   • Mỗi cặp phần tử của T có không quá 1 phần tử chung.
   • Mỗi phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn} thuộc đúng hai phần tử của T.

   Tìm giá trị lớn nhất có thể của m.

   Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về tập hợp, tổ hợp chập k và khả năng xây dựng mô hình toán học để giải quyết vấn đề. Việc phân tích các điều kiện của bài toán và tìm ra mối liên hệ giữa chúng là chìa khóa để tìm ra đáp án chính xác.

3. Bài 3: Hình học

   Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt AB và AC tương ứng tại Ab và Ac; đường tròn ngoại tiếp tam giác COA cắt BA và BC tương ứng tại Ba và Bc; và đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB cắt CA và CB tương ứng tại Ca và Cb (các điểm Ab, Ac, Ba, Bc, Ca, Cb không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Các cặp đường thẳng (BcBa;CaCb), (CaCb;AbAc), (AbAc;BcBa) lần lượt có các giao điểm là X, Y, Z. Chứng minh rằng:

   • a) Các điểm O, Ba, Ca thẳng hàng.
   • b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ tiếp xúc với (O).

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tam giác nội tiếp đường tròn, và các tính chất liên quan đến giao điểm của đường thẳng và đường tròn. Việc sử dụng các định lý về góc, tam giác đồng dạng và các kỹ năng vẽ hình chính xác là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Phần b là một bài toán chứng minh khá khó, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng suy luận logic và sử dụng các công cụ hình học một cách hiệu quả.

Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.