đề khảo sát đội tuyển hsgqg toán năm 2022 – 2023 chuyên lê quý đôn – điện biên

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi khảo sát đội dự tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Điện Biên. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 26 tháng 08 năm 2022, là một bài kiểm tra năng lực quan trọng dành cho những học sinh có niềm đam mê và mong muốn được tham gia vào đội tuyển Toán quốc gia.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic sắc bén. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài hình học: Cho tam giác nhọn ABC không cân tại A, có trực tâm H. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường tròn đường kính AC tại hai điểm D và E (D nằm giữa E và B) đồng thời cắt đường thẳng AC tại K. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường tròn đường kính AB tại hai điểm F và G (F nằm giữa C và G) đồng thời cắt đường thẳng AB tại L.
   • a) Chứng minh rằng bốn điểm D, F, E, G cùng nằm trên một đường tròn.
   • b) Giả sử KL giao BC tại I. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AI và cắt đường thẳng LC tại J. Chứng minh rằng H là trung điểm đoạn thẳng CJ.
   Nhận xét: Bài toán hình học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường tròn, tam giác vuông, đường cao và tính chất đối xứng. Việc chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đòi hỏi thí sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa các điểm và sử dụng các định lý liên quan. Phần b của bài toán đòi hỏi sự kết hợp của nhiều kiến thức và kỹ năng, đặc biệt là việc sử dụng tính chất của trực tâm và các đường thẳng đặc biệt trong tam giác.
2. Bài số học: Cho 2022 số nguyên dương a1, a2, …, a2022 bất kỳ. Có tồn tại hay không vô hạn số nguyên dương n >= 2022 thỏa mãn dãy 2022 số a1 + n, a2 + n, …, a2022 + n đều là hợp số không? Nhận xét: Bài toán số học này yêu cầu thí sinh phải có kiến thức về số nguyên tố, số hợp số và các tính chất liên quan. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần tìm ra một cách xây dựng n sao cho tất cả các số a1 + n, a2 + n, …, a2022 + n đều là hợp số.
3. Bài tổ hợp: Cho bảng ô vuông kích thước 100×100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với bảng và bốn đỉnh của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”.
   • a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1×4, 4×1 và 2×2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D?
   • b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
     • i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt.
     • ii) Luôn có một bảng tốt.
   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tư duy logic, phân tích và suy luận. Việc đếm số cách điền thỏa mãn các điều kiện cho trước là một thách thức không nhỏ. Phần chứng minh yêu cầu thí sinh phải tìm ra các mối liên hệ giữa các yếu tố trong bảng ô vuông và sử dụng các kỹ thuật tổ hợp để chứng minh các khẳng định.

Nhìn chung, đề thi khảo sát đội dự tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Điện Biên là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá đúng năng lực của học sinh và lựa chọn ra những em có tiềm năng nhất để tham gia vào đội tuyển quốc gia.