giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn tổ chức. Đề thi chuyên Toán 12 này là một tài liệu ôn luyện vô cùng giá trị, giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, nâng cao.
Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, với thời gian làm bài 180 phút (không tính thời gian phát đề). Tổng điểm của đề thi là 20 điểm. Điểm đặc biệt, giaibaitoan.com cung cấp kèm theo đề thi đáp án chi tiết, lời giải bài bản và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa quá trình tự học và ôn luyện của học sinh.
Sau đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Bài 1: Hình học
Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi S, T lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường thẳng ST cắt BE, CF lần lượt tại M, N.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi. Bài toán đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường thẳng, đường tròn, tam giác đồng dạng, và đặc biệt là các tính chất liên quan đến đường cao và đường trung tuyến của tam giác. Ý c) của bài toán là phần khó nhất, đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt các kiến thức về đường thẳng Euler và đường tròn ngoại tiếp.
Bài 2: Số học
Cho số nguyên dương n. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn tính chất: khi lấy ra k phần tử phân biệt bất kì từ tập hợp {1; 2; 3; …; 2n} (gồm 2n số nguyên dương liên tiếp) thì luôn có 2 phần tử được lấy ra mà số này chia hết cho số kia.
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán về tính chia hết, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt. Để giải bài toán này, cần tìm hiểu kỹ các tính chất của phép chia hết và sử dụng các kỹ thuật đếm để tìm ra giá trị nhỏ nhất của k.
Bài 3: Số học
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho ước nguyên tố lớn nhất của 4n + 1 lớn hơn 2n.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học khá thách thức, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng về lý thuyết số, đặc biệt là về ước nguyên tố và các tính chất của số nguyên tố. Bài toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia và quốc tế.
Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 tỉnh Lạng Sơn có độ khó cao, tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 12, đồng thời đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đây là một đề thi tốt để các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ Toán học của mình.
