đề học sinh giỏi tỉnh toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở gd&đt đồng nai

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2021 – 2022, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức vào ngày 18 tháng 02 năm 2022. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài 1: Hình học phẳng

   Cho tam giác ABC nhọn không cân, M là trung điểm BC và P là điểm di chuyển trên đoạn thẳng AM. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB cắt đường thẳng AC ở E; đường tròn ngoại tiếp tam giác APC cắt đường thẳng AB ở F. Lấy T khác A trên AM sao cho A, E, F, T cùng thuộc một đường tròn.

   • Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF thuộc một đường thẳng cố định khi P di động trên AM.
   • Lấy K đối xứng A qua IM, giả sử KT cắt AB ở X, KE cắt AM ở Y và EF cắt BC ở G. Chứng minh XY đi qua G.

   Nhận xét: Đây là một bài hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức về đường tròn, tam giác, đối xứng và phép biến hình. Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở việc tìm ra tính chất bất biến của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi P thay đổi, từ đó xác định được đường thẳng cố định. Phần 2 của bài toán yêu cầu thí sinh phải sử dụng khéo léo định lý Ceva hoặc Menelaus để chứng minh ba điểm X, Y, G thẳng hàng.

2. Bài 2: Số học

   Cho số nguyên dương n và một dãy tăng các số nguyên dương {a_i} sao cho với mọi i, j, nếu i chia hết cho j thì a_j chia hết cho a_i. Chứng minh rằng dãy {a_i} là một dãy không tăng.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về tính chia hết và các tính chất của dãy số. Để giải bài toán này, cần sử dụng một cách chứng minh phản chứng, kết hợp với các tính chất của dãy số tăng và tính chia hết.

3. Bài 3: Đại số

   Cho đa thức hệ số thực f(x) có 4 nghiệm dương phân biệt nhỏ hơn 8. Phương trình f(x⁵ – 5x + 4) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực?

   Nhận xét: Đây là một bài toán đại số kết hợp giữa việc phân tích hàm số và tìm nghiệm phương trình. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần phải hiểu rõ về nghiệm của đa thức, tính đơn điệu của hàm số và khả năng biến đổi của phương trình. Việc xét dấu và đánh giá nghiệm của phương trình là rất quan trọng để xác định số nghiệm thực.

Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai năm 2022 có cấu trúc khá cân đối, bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Đây là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi.