đề chọn học sinh giỏi thành phố môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải phòng

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hải Phòng năm học 2022 – 2023, đồng thời là đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 20 tháng 09 năm 2022 bởi Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được xây dựng có tính chọn lọc cao, tập trung vào các chủ đề quen thuộc nhưng được biến đổi một cách tinh tế, thách thức khả năng vận dụng kiến thức của học sinh.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC < CA, trọng tâm G, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H (D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB).

   • a) Đường tròn (BHC) cắt đường tròn đường kính AH tại T khác H. Chứng minh rằng A, T, G thẳng hàng.
   • b) Các điểm I, J, K lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho HI, HJ, HK tương ứng vuông góc với AG, BG, CG. Chứng minh rằng các đường tròn (AGD), (BGE), (CGF) cùng đi qua một điểm L khác G và I, J, K, L thẳng hàng.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tính chất của trọng tâm, đường cao và các điểm đặc biệt trong tam giác. Ý a tập trung vào việc sử dụng tính chất của đường tròn và sự thẳng hàng của các điểm. Ý b là một bài toán khó, đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, đặc biệt là việc sử dụng phương tích và các tính chất liên quan đến đường tròn.

2. Bài 2: Đại số

   Chứng minh rằng phương trình (x² + 2y²)² – 2(z² + 2t²)² = 1 có vô hạn nghiệm tự nhiên.

   Nhận xét: Bài toán đại số này kiểm tra khả năng phân tích và tìm kiếm nghiệm của phương trình Diophantine. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần có kiến thức về số học, phương trình nghiệm nguyên và kỹ năng biến đổi đại số.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Xâu tam phân độ dài n có dạng X = a₁a₂…a_n với a_k thuộc {0;1;2} với mọi k = 1..n. Một xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại của X có dạng Y = a_ia_i+1…a_j với 1 ≤ i ≤ j ≤ n mà a_i = a_i+1 = … = a_j, ngoài ra a_i-1 khác a_i (nếu i ≥ 2) và a_j khác a_j+1 (nếu j ≤ n – 1). Ví dụ xâu 1000211 có các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại là 1, 000, 2 và 11.

   • a) Gọi A_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà các xâu con liên tiếp bằng nhau cực đại đều có độ dài lẻ. Chứng minh rằng |A₂₀₂₃| = 2|A₂₀₂₂| + |A₂₀₂₁|.
   • b) Gọi B_n là tập tất cả các xâu tam phân độ dài n mà 0 và 2 không bao giờ đứng cạnh nhau. Chúng minh rằng |B₂₀₂₃| = |A₂₀₂₃| + |A₂₀₂₂|/3.

   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi thí sinh phải có khả năng đếm và phân tích các cấu trúc xâu. Ý a yêu cầu thí sinh thiết lập công thức truy hồi cho số lượng xâu thỏa mãn điều kiện cho trước. Ý b là một bài toán khó hơn, đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về tổ hợp và khả năng tìm ra mối liên hệ giữa các tập hợp khác nhau.

Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hải Phòng năm học 2022 – 2023 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, góp phần phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng lực đặc biệt trong lĩnh vực Toán học.