giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán THPT dự thi cấp Quốc gia năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ tổ chức, được thực hiện vào ngày 22 tháng 09 năm 2023. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM và AH cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm L, K (L, K khác A). Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm T (T khác A).
Nhận xét: Bài toán hình học này tập trung vào kiến thức về đường tròn, tam giác, đường cao, trực tâm và các tính chất liên quan. Yêu cầu chứng minh sự đồng quy, tiếp xúc của các đường thẳng, đường tròn, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất đã học. Điểm nhấn của bài toán là việc sử dụng một cách khéo léo các tính chất đối xứng và phép biến hình để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố hình học.
Tìm tất cả các bộ (p, q, r, n) với p, q, r là các số nguyên tố và n là số tự nhiên sao cho p2 = q2 + rn.
Nhận xét: Bài toán đại số này thuộc dạng phương trình Diophantine, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về số nguyên tố, các phương pháp phân tích phương trình và sử dụng các tính chất chia hết. Việc tìm ra các nghiệm nguyên tố của phương trình này có thể đòi hỏi thí sinh phải xét nhiều trường hợp khác nhau và sử dụng các kỹ thuật đánh giá, chặn để loại bỏ các nghiệm không phù hợp.
Cho tập hợp S = {1; 2; 3; …; 2024}. Gọi A là tập con gồm k phần tử của tập S sao cho trong A luôn tồn tại ba phần tử x, y, z thỏa x = a + b, y = b + c, z = c + a với a, b, c là các phần tử đôi một khác nhau thuộc S. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
Nhận xét: Bài toán tổ hợp này yêu cầu thí sinh phải hiểu rõ về tập hợp, tập con và các điều kiện cho trước. Để tìm ra giá trị nhỏ nhất của k, thí sinh cần phải phân tích cấu trúc của tập S và tìm ra một cách chọn tập con A sao cho thỏa mãn điều kiện đề bài với số lượng phần tử ít nhất. Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận tổ hợp tốt.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia. Việc giải các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi.
