đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt hòa bình

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hòa Bình tổ chức, được thực hiện vào ngày 29 tháng 08 năm 2023. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Dãy số

   Cho dãy số (a_n) xác định bởi a₁ = 2 và a_n+1 = a_n + 1/n.

   • a) Chứng minh rằng dãy số (a_n) là dãy số tăng.
   • b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt b_n = na_n. Chứng minh rằng dãy số (b_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về dãy số, bao gồm việc chứng minh tính đơn điệu và xét giới hạn. Phần a yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa dãy số tăng và các tính chất cơ bản. Phần b đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng định lý Cesàro hoặc các phương pháp tương tự để tìm giới hạn của dãy số.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Điểm P bất kỳ nằm trong tam giác ABC sao cho AP vuông góc BC. Hạ PE vuông góc AB, PF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC). Gọi L là giao điểm của BF và CE, Q là giao điểm của AL và BC và X là giao điểm của EF và BC.

   • a) Chứng minh rằng đường tròn (QEF) luôn đi qua một điểm cố định.
   • b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh rằng KL vuông góc AX.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, các tính chất của tứ giác điều hòa và định lý Ceva. Việc tìm ra điểm cố định trong phần a và chứng minh tính vuông góc trong phần b đòi hỏi sự phân tích sâu sắc và vận dụng linh hoạt các công cụ hình học.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Cho tập hợp X = {1; 2; …; 49}. Tô màu ít nhất 24 phần tử của X với điều kiện sau: nếu a, b thuộc X (không nhất thiết phân biệt) được tô màu thì a + b cũng được tô màu, miễn là a + b thuộc X. Gọi S là tổng tất cả các phần tử không được tô màu của tập X.

   • a) Chứng minh rằng S ≤ 625.
   • b) Chỉ ra tất cả các cách tô màu sao cho S = 625.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Việc chứng minh bất đẳng thức trong phần a đòi hỏi học sinh phải tìm ra một cách tô màu tối ưu và đánh giá tổng các phần tử không được tô màu. Phần b yêu cầu học sinh phải xác định chính xác các trường hợp tô màu thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bộ đề thi này không chỉ là một bài kiểm tra năng lực mà còn là cơ hội để học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, nâng cao kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới. giaibaitoan.com hy vọng rằng tài liệu này sẽ hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh.