giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2024 – 2025 của trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi chính thức đã diễn ra vào ngày 20 và 21 tháng 09 năm 2024, đánh dấu một bước quan trọng trong việc phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học.
Bộ đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề. Dưới đây là nội dung chi tiết của các bài toán:
Cho đa thức P(x) = x4 – ax3 + 6x2 – bx + c với a, b, c là các tham số thực. Biết rằng P(x) có 4 nghiệm thực không âm. Chứng minh 3a ≥ b + 8.
Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức và bất đẳng thức. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần sử dụng các kỹ thuật như đánh giá, sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (AM-GM, Cauchy-Schwarz) và phân tích cấu trúc của đa thức. Việc chứng minh bất đẳng thức đòi hỏi sự khéo léo trong việc lựa chọn điểm rơi và sử dụng các giả thiết đã cho.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Lấy P là điểm thay đổi nằm trong tam giác ADC sao cho ∠CDP = ∠DAP. DP cắt AC tại điểm I.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn, tính chất đối xứng, các định lý về góc và tam giác đồng dạng. Phần a tập trung vào việc sử dụng phương pháp đường tròn để tìm ra điểm cố định, trong khi phần b yêu cầu thí sinh vận dụng các kiến thức về tiếp tuyến, đường tròn bàng tiếp và chứng minh tính tiếp xúc của hai đường tròn. Đây là một bài toán có tính chất khám phá cao, đòi hỏi sự quan sát tinh tế và khả năng suy luận logic.
Cho số nguyên tố p có dạng 4k + 3, với k là số nguyên dương. Chứng minh rằng có ít nhất (p + 1)/2 số nguyên dương a không vượt quá p, sao cho với mỗi số a tồn tại số nguyên dương m không vượt quá p – 1 để (a + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)…(am + 1) – 1 chia hết cho p.
Nhận xét: Bài toán số học này liên quan đến các tính chất của số nguyên tố, đồng dư thức và phân tích đa thức. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần sử dụng các kiến thức về số học modular, định lý Fermat nhỏ và các kỹ thuật phân tích đa thức. Việc chứng minh sự tồn tại của một số lượng lớn các số a thỏa mãn điều kiện đề bài đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc của số nguyên tố và các phép toán số học.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, mở rộng kiến thức và nâng cao trình độ chuyên môn. giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật và chia sẻ các tài liệu học tập chất lượng khác để hỗ trợ quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện.
