đề chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2020 – 2021 trường thpt chu văn an – hà nội

Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Chu Văn An – Hà Nội (2020-2021)

Vào ngày 12 tháng 09 năm 2020, trường THPT Chu Văn An, thành phố Hà Nội đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 12, chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp thành phố năm học 2020 – 2021. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng vận dụng sáng tạo các công cụ toán học.

Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, bao phủ các chủ đề trọng tâm thường xuất hiện trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán THPT. Cụ thể:

• Hàm số: Đề bài có thể yêu cầu khảo sát hàm số, tìm cực trị, hoặc giải phương trình, bất phương trình chứa hàm số.
• Phương trình và hệ phương trình: Các dạng bài tập thường gặp bao gồm phương trình vô tỷ, phương trình lượng giác, hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình mũ - logarit.
• Giới hạn của dãy số: Đề bài có thể yêu cầu tính giới hạn của dãy số, chứng minh sự hội tụ hoặc phân kỳ của dãy số.
• Tọa độ mặt phẳng Oxy: Các bài toán thường liên quan đến đường thẳng, đường tròn, elip, hypebol, parabol, và các vấn đề về quan hệ vị trí giữa các điểm và đường.
• Hình học không gian: Đề bài có thể yêu cầu tính góc, khoảng cách, thể tích, diện tích của các hình khối trong không gian, hoặc chứng minh các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học.
• Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN) của biểu thức nhiều biến số: Đây là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật như đánh giá, biến đổi tương đương, hoặc áp dụng các bất đẳng thức.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

1. Bài toán 1 (Tọa độ mặt phẳng Oxy): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2;1) là trung điểm cạnh AC, điểm H(0;-3) là chân đường cao kẻ từ A, điểm E(23;-2) thuộc đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết rằng điểm A thuộc đường thẳng d: 2x + 3y – 5 = 0 và điểm C có hoành độ dương.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học tọa độ điển hình, kết hợp kiến thức về trung điểm, đường cao, đường trung tuyến và phương trình đường thẳng. Bài toán đòi hỏi thí sinh phải có khả năng thiết lập hệ phương trình và giải quyết một cách chính xác.
2. Bài toán 2 (Hình học không gian): Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi a là số đo của góc BAC và b là số đo của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (ABC). Gọi R và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: (cos a)^2/sin 2b = R^2/S.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là các mối quan hệ giữa góc, đường thẳng và mặt phẳng. Việc chứng minh đẳng thức đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích, suy luận logic và sử dụng các công thức hình học một cách linh hoạt.
3. Bài toán 3 (Bất đẳng thức): Xét a, b, c là các số thực dương, thoả mãn các điều kiện abc = 1 và a^2 + b^2 + 1/a^2b^2 = 1 + 2/ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1/(1 + 3c) – 1/(a^2 + 1) – 1/(1 + b^2).
   Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng biến đổi bất đẳng thức, sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc (như AM-GM, Cauchy-Schwarz) và có khả năng đánh giá một cách chính xác.

Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT Chu Văn An – Hà Nội (2020-2021) là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề của thí sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.