đề thi hsg toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên nguyễn du – đắk lắk

Phân tích Đề Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Toán 12 – Trường Chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk (Vòng 1, 09/09/2020)

Vào ngày 09 tháng 09 năm 2020, trường THPT chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắk Lắk đã tổ chức vòng thi số 1 của kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, phù hợp với mục tiêu tuyển chọn những học sinh có năng lực đặc biệt trong lĩnh vực Toán học.

Tổng quan về đề thi:

• Hình thức: Đề thi tự luận.
• Thời lượng: 180 phút.
• Số lượng câu hỏi: 05 bài toán.
• Trang: 01 trang.

Đề thi tập trung vào việc kiểm tra kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng vận dụng linh hoạt các định lý và kỹ năng giải quyết vấn đề sáng tạo của học sinh. Các bài toán được xây dựng có tính chất phân loại cao, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và tổng hợp thông tin tốt.

Nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (C). Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Gọi I1, I2, I3, I4 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các tam giác ABN, BCM, CDN và ADM tương ứng với các đỉnh A, C, D và D.
   • a) Chứng minh các điểm I1, I2, I3, I4 đồng viên.
   • b) Gọi I là tâm đường tròn qua I1, I2, I3, I4. Chứng minh PI vuông góc với MN.
   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh nắm vững kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp, và các tính chất liên quan đến tứ giác nội tiếp. Việc chứng minh các điểm đồng viên thường yêu cầu sử dụng các tính chất về góc và mối quan hệ giữa các đường tròn. Phần b của bài toán có thể cần kết hợp kiến thức về hình học phẳng và vector để tìm ra mối liên hệ giữa các điểm và chứng minh tính vuông góc.
2. Bài toán 2 (Đại số – Hàm số): Tìm tất cả các hàm số f: R → R thỏa mãn: f(x + f(y)) – f(f(x) – x) = f(y) – f(x) + 2x + 2y với mọi x, y thuộc R. Nhận xét: Đây là một bài toán về hàm số, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng giải phương trình hàm. Việc tìm ra nghiệm của phương trình hàm thường đòi hỏi sự khéo léo trong việc chọn các giá trị đặc biệt của x và y để suy luận ra các tính chất của hàm số.
3. Bài toán 3 (Số học): Chứng minh rằng với mọi n thuộc Z+, luôn tồn tại m thuộc N sao cho: (√2 – 1)^n = √(m + 1) – √m. Nhận xét: Bài toán này liên quan đến các biểu thức chứa căn thức và số vô tỉ. Để giải quyết bài toán này, thí sinh có thể cần sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số, kết hợp với kiến thức về số học để tìm ra mối liên hệ giữa n và m.

Đánh giá chung:

Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk là một đề thi chất lượng, có khả năng phân loại học sinh tốt. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm cả hình học, đại số và số học, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức toàn diện và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Đề thi này là một cơ hội tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao năng lực Toán học của mình.