giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 cấp trường năm học 2019 – 2020 của trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc. Đề thi có cấu trúc tự luận, bao gồm 5 bài toán, được thiết kế với thời gian làm bài 180 phút. Đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho hai số nguyên a và b. Chứng minh rằng nếu a5 ≡ b5 (mod 97) thì a ≡ b (mod 97).
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về đồng dư thức và ứng dụng của định lý Fermat nhỏ. Số 97 là số nguyên tố, do đó có thể sử dụng định lý Fermat nhỏ để giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Đây là một bài toán quen thuộc trong các kỳ thi học sinh giỏi, nhưng đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ bản chất của các khái niệm và định lý liên quan.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. L, M, N lần lượt là các giao điểm thứ hai của AI, BI, CI với (O). Một đường tròn (w) thay đổi luôn đi qua I, L và cắt cạnh BC tại E, F (E nằm giữa B và F). Các đường thẳng LE, LF cắt (O) tại điểm P, Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác EFQP nội tiếp và đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn (w) thay đổi.
b) Đường thẳng PQ cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Chứng minh rằng NH và MK cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (w).
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát tốt, vận dụng linh hoạt các định lý về đường tròn, tam giác và các tính chất liên quan đến tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp. Việc chứng minh tứ giác nội tiếp và tìm điểm cố định thường là những bước quan trọng để giải quyết bài toán. Bài toán này có tính chất sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận tốt.
Cho m ≤ n là hai số nguyên dương và một bảng có kích thước m x n gồm mn ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông có không quá một con kiến. Biết rằng với mỗi số nguyên dương k thuộc tập hợp {1, 2, 3, …, 78}, tồn tại một hàng hoặc một cột trong bảng có đúng k con kiến.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của m + n.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của số con kiến trên bảng đã cho.
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích và suy luận logic. Việc sử dụng các kỹ thuật đếm và đánh giá là rất quan trọng để giải quyết bài toán. Bài toán này có tính ứng dụng cao, liên quan đến các bài toán thực tế về phân bố và sắp xếp.
Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 cấp trường năm học 2019 – 2020 trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức toàn diện và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
