giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 bộ đề kiểm tra đánh giá chất lượng giữa học kì 1 môn Toán 10 THPT chuyên năm học 2022 – 2023 của trường THPT Chu Văn An, thành phố Hà Nội. Đây là một đề thi có độ khó cao, tập trung vào việc kiểm tra kiến thức nền tảng và khả năng vận dụng linh hoạt của học sinh trong các lĩnh vực Đại số và Tổ hợp.
Bộ đề này không chỉ đánh giá khả năng tính toán mà còn đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, khả năng chứng minh và giải quyết vấn đề. Dưới đây là phân tích chi tiết về các bài toán trong đề thi:
Cho số nguyên m. Định nghĩa I(m) = {xm: x thuộc Z} là ideal chính sinh bởi m trên Z. Chứng minh rằng: I(2) giao I(3) = I(6).
Nhận xét: Đây là một bài toán thuộc về lý thuyết số, cụ thể là về các ideal trong vành số nguyên Z. Bài toán yêu cầu học sinh nắm vững định nghĩa của ideal chính, hiểu rõ cách xây dựng ideal sinh bởi một phần tử và vận dụng các tính chất của phép giao của các ideal. Mức độ khó của bài toán này tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đại số trừu tượng.
Hướng giải quyết: Để chứng minh I(2) giao I(3) = I(6), cần chứng minh hai chiều: I(2) giao I(3) ⊆ I(6) và I(6) ⊆ I(2) giao I(3). Việc chứng minh này dựa trên việc phân tích các phần tử thuộc ideal và sử dụng tính chất chia hết.
Cho hai số thực a và b phân biệt thỏa mãn điều kiện a + b > 0. Chứng minh rằng: 2(n – 1)(an + bn) > (a + b)n với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về các bất đẳng thức cơ bản, đặc biệt là bất đẳng thức AM-GM hoặc bất đẳng thức Bernoulli. Việc chứng minh bất đẳng thức này có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau, tùy thuộc vào khả năng của học sinh.
Hướng giải quyết: Có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức này. Bước cơ sở là chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 2. Bước quy nạp là giả sử bất đẳng thức đúng với n = k và chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Cho E là một tập hợp. Với mọi tập con A của E, ta xác định ánh xạ: XA : E → {0;1}; x → 1 khi x thuộc A và 0 khi x thuộc E\A. Ánh xạ này gọi là hàm đặc trưng của A trên E. Chứng minh rằng, với mọi tập con A, B của E, ta luôn có XA∪B = XA + XB.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lý thuyết tập hợp và hàm số. Bài toán yêu cầu học sinh hiểu rõ định nghĩa của hàm đặc trưng, nắm vững các phép toán trên tập hợp (hợp, giao, hiệu) và biết cách chứng minh đẳng thức giữa các hàm số. Đây là một bài toán mang tính chất cơ bản nhưng đòi hỏi sự chính xác và cẩn thận trong lập luận.
Hướng giải quyết: Để chứng minh XA∪B = XA + XB, cần xét hai trường hợp: x thuộc A∪B và x không thuộc A∪B. Trong trường hợp x thuộc A∪B, XA∪B(x) = 1, và XA(x) + XB(x) = 1. Trong trường hợp x không thuộc A∪B, XA∪B(x) = 0, và XA(x) + XB(x) = 0.
Đánh giá chung: Đề thi giữa kì 1 Toán 10 chuyên năm 2022 – 2023 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi tập trung vào việc kiểm tra kiến thức nền tảng và khả năng vận dụng linh hoạt của học sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang ôn thi vào các trường chuyên.
