đề kscl mũi nhọn toán 8 năm 2022 – 2023 phòng gd&đt nông cống – thanh hóa

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán cấp huyện năm học 2022 – 2023, do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nông Cống, tỉnh Thanh Hóa tổ chức vào ngày 04 tháng 03 năm 2023. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở cấp độ huyện và tỉnh.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau, thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc và abc ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức: B = 8(a + b)/c + 3(b + c)/a – 2034(c + a)/b.
   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về các phép biến đổi đại số và các hằng đẳng thức đáng nhớ. Điều kiện a³ + b³ + c³ = 3abc gợi ý đến việc sử dụng hằng đẳng thức a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca). Vì a, b, c đôi một khác nhau nên a + b + c ≠ 0, từ đó suy ra a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0, dẫn đến (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0. Điều này cho thấy cần phải có cách tiếp cận khác để giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
2. Bài 2: Cho x, y là các số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn: (2x – 1)/(x – 1) + (2y – 1)/(y – 1) = 1. Chứng minh M = x² + y² − xy là bình phương của một số hữu tỉ.
   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi kỹ năng biến đổi biểu thức và sử dụng các tính chất của số hữu tỉ. Việc đưa phương trình về dạng đơn giản và tìm mối liên hệ giữa x và y là chìa khóa để chứng minh M là một số chính phương.
3. Bài 3: Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kì (D khác A). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD tại O, cắt By tại C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD.
   1. Chứng minh: ADH đồng dạng BOH và AHB vuông.
   2. Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh E, I, F thẳng hàng.
   3. Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
   
   Nhận xét: Đây là một bài hình học khá phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy không gian tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý về tam giác đồng dạng, đường thẳng vuông góc, và các tính chất của hình học phẳng. Phần (c) của bài toán yêu cầu tối ưu hóa diện tích, đòi hỏi học sinh phải thiết lập được biểu thức diện tích theo vị trí của điểm D và sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Đánh giá chung: Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục đích khảo sát chất lượng học sinh giỏi. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi bao gồm cả các bài toán đại số và hình học, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh.