đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi hsg quốc gia toán 12 năm 2018 – 2019 sở gd và đt phú thọ

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018-2019 – Phú Thọ: Đánh giá chi tiết và phân tích chuyên sâu

Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm học 2018-2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi được cấu trúc gồm hai ngày thi, ngày 14/09/2018 và 15/09/2018, mỗi ngày thi kéo dài 180 phút. Ngày thi thứ nhất bao gồm 4 bài toán, trong khi ngày thi thứ hai có 3 bài toán. Điểm đáng chú ý là đề thi được công bố kèm theo lời giải chi tiết và thang điểm, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự học và ôn luyện.

Dưới đây là phân tích chi tiết về từng bài toán trong đề thi:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF, hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy.

Nhận xét: Đây là một bài hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng về các tính chất của đường tròn, tứ giác nội tiếp, và các định lý liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp. Việc chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp có thể sử dụng các góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Chứng minh sự đồng quy của IM, JN, PQ có thể áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus một cách khéo léo, hoặc sử dụng phép biến hình phù hợp.

2. Bài toán 2 (Số học): Chứng minh rằng: Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.

Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức về số nguyên tố, hợp số và tính chất chia hết. Để chứng minh sự tồn tại của 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số, có thể sử dụng tính chất của giai thừa. Việc chứng minh sự tồn tại của 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố đòi hỏi sự phân tích sâu sắc hơn về sự phân bố của các số nguyên tố.

3. Bài toán 3 (Tổ hợp): Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm 2018² ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a₁, a₂, …, a₂₀₁₈ ở hàng thứ nhất, b₁, b₂, …, b₂₀₁₈ ở hàng thứ hai sao cho S = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a₂₀₁₈b₂₀₁₈ là một số chẵn.

Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp có tính chất logic cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và suy luận chặt chẽ. Việc sử dụng tính chất đối xứng của bảng ô vuông và các giá trị -1, 0, 1 là chìa khóa để giải quyết bài toán. Có thể sử dụng các kỹ thuật đếm hoặc chứng minh phản chứng để tìm ra hai hàng thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018-2019 – Phú Thọ là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo và đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy độc lập. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các thí sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán.