giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý độc giả đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Tháp. Đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi được đánh giá là có tính phân loại cao, giúp xác định những học sinh có tiềm năng và đam mê với môn Toán.
Đề thi gồm 5 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút (3 tiếng). Tổng điểm của đề thi là 20 điểm. Điểm đặc biệt của đề thi này là có kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự học và ôn luyện hiệu quả.
Dưới đây là nội dung chi tiết của ba bài toán được trích dẫn:
Cho bảng ô vuông kích thước m x n. Quân cờ bắt đầu ở ô góc trên bên trái. Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, mỗi lượt chỉ được di chuyển sang phải hoặc xuống dưới. Người chơi không thể di chuyển được sẽ thua. Xác định điều kiện của m và n để người chơi đầu tiên luôn thắng.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp mang tính chiến lược cao. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần hiểu rõ về khái niệm chiến lược thắng – thua trong trò chơi, và có khả năng phân tích các trường hợp có thể xảy ra. Bài toán này đòi hỏi tư duy logic và khả năng suy luận tốt.
Cho đường thẳng d và điểm A cố định không thuộc d. H là hình chiếu của A lên d. B và C là các điểm thay đổi trên d sao cho giaibaitoan.com = -1. Đường tròn đường kính AH cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Chứng minh O chạy trên một đường thẳng cố định.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là tính chất của đường tròn và các điểm đặc biệt trong tam giác. Việc chứng minh MN đi qua một điểm cố định và O chạy trên một đường thẳng cố định đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ năng biến đổi hình học, sử dụng hệ tọa độ hoặc các định lý liên quan đến đường tròn và tam giác.
Xét phương trình x31 + y5 = z2018. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn phương trình trên. Có tồn tại hay không bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn phương trình trên?
Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình Diophantine, một lĩnh vực đòi hỏi kiến thức sâu rộng về số học và đại số. Việc chứng minh sự tồn tại vô số nghiệm nguyên đòi hỏi thí sinh phải có khả năng xây dựng các nghiệm cụ thể hoặc sử dụng các kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng. Việc xét nghiệm nguyên dương thường khó khăn hơn và đòi hỏi các đánh giá chặt chẽ hơn.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán của Sở GD&ĐT Đồng Tháp năm 2019 là một đề thi chất lượng, có tính thử thách cao và phù hợp với mục tiêu đánh giá năng lực của học sinh giỏi. Việc nghiên cứu và giải quyết đề thi này sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong môn Toán.
