đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán năm học 2020 – 2021

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021. Đây là một nguồn tài liệu quý giá để ôn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán, đặc biệt là đối với các em học sinh có đam mê và mong muốn đạt thành tích cao trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Đề thi năm nay bao gồm hai bài thi tự luận, được tổ chức trong hai ngày liên tiếp:

1. Ngày 1 (25/12/2020): Bài thi số 1 với 04 câu hỏi tự luận, thời gian làm bài 180 phút.
2. Ngày 2 (26/12/2020): Bài thi số 2 với 03 câu hỏi tự luận, thời gian làm bài 180 phút.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của hai bài thi:

Bài thi số 1:

• Câu 1: Một học sinh chia 30 viên bi vào 5 hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (có thể có hộp không có viên bi nào).
  • a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
  • b) Sau khi chia, học sinh sơn 30 viên bi đó bằng một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kì không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.
  • c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b.

Bài thi số 2:

• Câu 1: Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF với tâm I và K, J lần lượt là trung điểm BC, EF. Cho HJ cắt lại (I) tại G, GK cắt lại (I) tại L.
  • a) Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.
  • b) Cho AD cắt EF tại M, IM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF tại N, DN cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng PE, QF, AK đồng quy.

Nhận xét và phân tích:

Bộ đề thi này thể hiện rõ sự phân hóa cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết các vấn đề. Các câu hỏi đều mang tính chất mở, khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều hướng tiếp cận khác nhau.

Câu 1 của bài thi số 1 tập trung vào kiến thức về tổ hợp và nguyên lý Dirichlet. Phần a kiểm tra khả năng đếm cơ bản, trong khi phần b và c đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng chứng minh sắc sảo. Câu 1 của bài thi số 2 thuộc về hình học, yêu cầu học sinh nắm vững các định lý về đường tròn, đường cao, trực tâm và các tính chất liên quan. Việc chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng trong phần b đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn của nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau.

Đây là một đề thi chất lượng, phù hợp để các em học sinh rèn luyện và thử thách bản thân. giaibaitoan.com hy vọng rằng bộ đề này sẽ góp phần vào thành công của các em trong các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.