đề thi chọn học sinh giỏi toán 12 cấp tỉnh năm 2021 – 2022 sở gd&đt gia lai

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh Gia Lai năm học 2021 – 2022: Đánh giá và phân tích chuyên sâu

Ngày 22 tháng 12 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh môn Toán năm học 2021 – 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang, với thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề). Dưới đây là nội dung chi tiết và phân tích từng bài toán:

1. Bài toán 1: Dãy số

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 3 và n.u_n+1 = 2(n + 1)u_n – n – 2 với mọi n ≥ 1.

• a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
• b) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, luôn tồn tại hai số hạng liên tiếp của dãy là bội của p.

Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về dãy số, đặc biệt là kỹ năng chứng minh tính chất của dãy số. Phần a yêu cầu thí sinh chứng minh tính nguyên của các số hạng, đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi và sử dụng các tính chất chia hết. Phần b là một bài toán số học, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về số nguyên tố và áp dụng các định lý liên quan để chứng minh sự tồn tại của các số hạng bội của p.

2. Bài toán 2: Hình học

Cho tam giác ABC nhọn, có AB < BC, nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AE và CF cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AB). Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại Z. Gọi X là giao điểm của ZA và EF, Y là giao điểm của ZC và EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác B).

• a) Chứng minh rằng ba điểm M, H và D thẳng hàng.
• b) Chứng minh rằng bốn điểm D, X, Z và Y cùng nằm trên một đường tròn.

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, các tính chất của tam giác và các điểm đặc biệt trong tam giác (trung điểm, trực tâm). Việc chứng minh các điểm thẳng hàng và cùng nằm trên một đường tròn đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các định lý về góc, các hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất của đường tròn một cách linh hoạt.

3. Bài toán 3: Tổ hợp – Logic

Trong một tòa nhà có một số phòng nào đó, trong mỗi phòng có một bóng đèn và một công tắc, công tắc ở mỗi phòng được nối với một số phòng nào đó. Khi ta bấm công tắc tại một phòng thì sẽ làm thay đổi trạng thái của bóng đèn trong phòng đó và các phòng được nối với công tắc này (bóng đang sáng sẽ tắt còn bóng đang tắt sẽ sáng). Chứng minh rằng, nếu ban đầu tất cả các bóng đèn đều tắt thì sau một số hữu hạn lần bấm công tắt sẽ làm cho tất cả các bóng đèn đều sáng.

Nhận xét: Bài toán này mang tính chất tổ hợp và logic, đòi hỏi thí sinh phải tư duy trừu tượng và xây dựng được một chiến lược bấm công tắc hiệu quả. Bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng đại số tuyến tính hoặc lý thuyết đồ thị. Đây là một bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và tổng hợp thông tin tốt.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh Gia Lai năm học 2021 – 2022 có độ khó cao, bao gồm các bài toán đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi tập trung vào các chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THPT như dãy số, hình học, tổ hợp và logic. Đề thi này là một thước đo quan trọng để đánh giá năng lực của học sinh và lựa chọn những em có tiềm năng để tham gia các kỳ thi cấp cao hơn.