đề thi chọn học sinh giỏi toán 12 năm 2021 – 2022 sở gd&đt quảng trị

Thông tin về kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2021 – 2022 tỉnh Quảng Trị

Ngày 05 tháng 11 năm 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị đã tổ chức thành công kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 và chọn đội tuyển tham gia kỳ thi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022. Kỳ thi này là bước đệm quan trọng để phát hiện và bồi dưỡng những tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học của tỉnh.

Cấu trúc đề thi

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 – 2022 của Sở GD&ĐT Quảng Trị được cấu trúc thành hai vòng thi:

1. Vòng 1: Gồm 04 câu hỏi tự luận, yêu cầu thí sinh trình bày chi tiết lời giải. Thời gian làm bài là 180 phút.
2. Vòng 2: Tương tự vòng 1, đề thi gồm 04 câu hỏi tự luận và thời gian làm bài cũng là 180 phút.

Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic, sáng tạo.

Nội dung một số câu hỏi tiêu biểu

Dưới đây là trích dẫn một số câu hỏi trong đề thi, thể hiện rõ đặc trưng và mức độ khó của đề:

• Câu 1: Phương trình Diophantine

  Với mỗi số nguyên dương n, xét phương trình nghiệm nguyên 3x² – y² = 23ⁿ. Yêu cầu:

  1. Chứng minh rằng nếu n là số chẵn thì phương trình vô nghiệm.
  2. Chứng minh rằng nếu n là số lẻ thì phương trình có nghiệm.

  Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình Diophantine, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các kiến thức về số học, đặc biệt là các tính chất của số nguyên tố và phương pháp xét tính chẵn lẻ. Việc chứng minh phương trình vô nghiệm khi n chẵn có thể sử dụng phương pháp phản chứng hoặc xét modulo.

• Câu 2: Hình học phẳng

  Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm D, E thuộc đường thẳng BC sao cho AD vuông góc OB và AE vuông góc OC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB; G là giao điểm của EM và DN; S là giao điểm của OG và BC. Chứng minh rằng:

  1. Tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCA.
  2. Đường thẳng SA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

  Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình học phẳng, bao gồm các tính chất của đường tròn nội tiếp, tam giác đồng dạng và các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. Việc chứng minh tam giác đồng dạng đòi hỏi thí sinh phải tìm ra các góc hoặc cạnh tương ứng bằng nhau. Chứng minh SA là tiếp tuyến của (O) thường liên quan đến việc chứng minh góc SOA vuông.

• Câu 3: Tổ hợp và logic

  Trong một giải đấu bóng bàn nam có n (n ≥ 3) vận động viên tham gia, hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng 1 trận (không có kết quả hòa). Kết thúc giải đấu, mỗi vận động viên sẽ viết ra tên những đối thủ thua mình và tên những vận động viên thua một trong các đối thủ đó. Một vận động viên được gọi là vô địch tương đối nếu anh ta viết được tên của tất cả n – 1 vận động viên còn lại. Gọi Sn là số vận động viên vô địch tương đối nhiều nhất có thể. Yêu cầu:

  1. Tính S₃, S₄.
  2. Chứng minh rằng S_n = n với mọi n ≥ 5.

  Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp giữa tổ hợp và logic, đòi hỏi thí sinh phải suy luận một cách chặt chẽ và tìm ra các cấu trúc đặc biệt trong giải đấu. Việc tính S₃ và S₄ có thể thực hiện bằng cách liệt kê các trường hợp có thể xảy ra. Chứng minh S_n = n với n ≥ 5 đòi hỏi thí sinh phải xây dựng một cấu trúc giải đấu thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đánh giá chung

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2021 – 2022 của Sở GD&ĐT Quảng Trị được đánh giá là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá đúng năng lực của học sinh. Các câu hỏi trong đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo trong giải quyết vấn đề.