Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 7

a) Cỡ mẫu là n = 50.

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [8;8,5).

c) Mốt của mẫu số liệu bằng \({M_o} = 8,12\).

d) Số trung bình của mẫu số liệu làm tròn đến hàng phần nghìn là \(\overline x = 8,122\).

a) \(AD \bot (CDD'C')\).

b) Góc giữa hai đường thẳng A’D và DC’ là \({60^o}\).

c) \(OO' \bot (ABCD)\).

d) \(A'D \bot BB'\).

Áp dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\), \(\sqrt[b]{{{x^a}}} = {x^{\frac{a}{b}}}\).

\({a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.\sqrt a .\frac{1}{{{a^2}}} = {a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{ - 2}} = {a^{\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{1}{2} - 2}} = {a^{\frac{{ - 23}}{{12}}}}\).

Áp dụng công thức \({\log _{{a^m}}}b = \frac{1}{m}{\log _a}b\); \({\log _a}{b^m} = m{\log _a}b\); \({\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c\).

\({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{1}{2}{\log _a}a + \frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = \frac{1}{2}{\log _a}a + 2.\frac{1}{2}{\log _a}b\)

\( = \frac{1}{2}{\log _a}a + {\log _a}b = \frac{1}{2}.1 + 2 = \frac{3}{2}\).

Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(\alpha \) không nguyên.

ĐKXĐ: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

Vậy \(D = \left( {1; + \infty } \right)\).

\({\log _a}x = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {a^b}\end{array} \right.\).

\({\log _3}(5x) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x > 0\\5x = {3^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \frac{9}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}\).

Hợp của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc A, thuộc B hoặc thuộc cả A và B.

\(C = A \cap B = \{ 0;2;3;4;6;8;9\} \).

Với hai biến cố độc lập A, B, ta có P(AB) = P(A).P(B).

\(P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{3} = \frac{2}{{15}}\).

Số học sinh cần tìm là tổng tần số của các nhóm chứa giá trị từ 168 cm trở lên

Số học sinh có chiều cao từ 168 cm trở lên là 8 + 3 = 11.

Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

Vì CC’ // BB’ nên \((BD,CC') = (BD,BB') = \widehat {B'BD}\).

Vì \(BB' \bot (ABCD)\) nên \(BB' \bot BD\) hay \(\widehat {B'BD} = {90^o}\).

Chứng minh mặt phẳng chứa MN vuông góc với một trong số các đường thẳng ở đáp án rồi kết luận.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AD\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot MN\) (vì M, N thuộc (SAB)).

Dựa vào định nghĩa hình hộp, hình lăng trụ đều, hình chóp đều, hình lập phương.

“Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông” là mệnh đề đúng.

A sai vì hình hộp có đáy là hình bình hành.

B sai vì hình lăng trụ đều có đáy là đa giác đều

C sai vì hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau.

Tìm hình chiếu vuông góc của các điểm S, C, D lên (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của các điểm S, C, D lên mặt phẳng (ABCD) lần lượt là A, C, D.

Suy ra hình chiếu vuông góc của DSCD lên mặt phẳng (ABCD) là DACD.

Áp dụng liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song.

B sai vì nếu \(b \bot a\) thì b // (P) hoặc b thuộc (P).

a) Cỡ mẫu là n = 50.

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [8;8,5).

c) Mốt của mẫu số liệu bằng \({M_o} = 8,12\).

d) Số trung bình của mẫu số liệu làm tròn đến hàng phần nghìn là \(\overline x = 8,122\).

a) Cỡ mẫu bằng tổng tần số trong bảng số liệu.

b) Nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

c) Công thức tính mốt thuộc nhóm \([{u_m};{u_{m + 1}})\):

\({M_o} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right)\left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\); trong đó \({n_m}\) là tần số nhóm thứ m.

d) Công thức tính số trung bình: \(\overline x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2}... + {c_n}{n_k}}}{N}\); trong đó N là kích thước của bảng tần số k nhóm, \({n_i}\) là tần số nhóm i, \({c_i}\) là giá trị đại diện nhóm i \((1 \le i \le k)\).

a) Sai. n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

b) Đúng. Nhóm chứa mốt là [8;8,5).

c) Sai. \({M_o} = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right)\left( {24 - 13} \right)}}.\left( {8,5 - 8} \right) = \frac{{177}}{{22}} = 8,0(45)\).

d) Đúng. \(\overline x = \frac{{6,75.8 + 7,25.10 + 7,75.16 + 8,25.24 + 8,75.13 + 9,25.7 + 9,75.4}}{{82}} = \frac{{333}}{{41}} \approx 8,122\).

a) \(AD \bot (CDD'C')\).

b) Góc giữa hai đường thẳng A’D và DC’ là \({60^o}\).

c) \(OO' \bot (ABCD)\).

d) \(A'D \bot BB'\).

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

a) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot DC\\AD \bot DD'\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (CDD'C')\).

b) Đúng. Ta có A’D = DC’ = A’C’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau) nên A’DC’ là hình tam giác đều, hay \(\widehat {A'DC'} = {60^o}\).

Vậy \((A'D,DC') = \widehat {A'DC'} = {60^o}\).

c) Đúng. Dễ thấy mặt phẳng (ACC’A’) là hình chữ nhật có O là trung điểm của AC, O’ là trung điểm của A’C’. Khi đó OO’ // AA’ và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).

d) Sai. \((A'D,BB') = (A'D,DD') = \widehat {A'DD'} = {45^o}\).

Thay các giá trị từ đề bài vào công thức đã cho. Áp dụng quy tắc biến đổi phương trình mũ và phương trình logarit.

\({5.10^{ - 13}} = 1,{2.10^{ - 12}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{5730}}}} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow \frac{t}{{5730}} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{{12}} \Leftrightarrow t = 5730{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{{12}} \approx 7200\) (năm).

Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.

Kẻ \(AH \bot SB\), H thuộc SB.

Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên \(SA \bot AD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SA\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot AH\).

Do đó, AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD.

Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AH:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 \Leftrightarrow A{H^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,71\).

Vậy \(d\left( {AD,SB} \right) = AH \approx 0,71\).

Vẽ sơ đồ hình cây.

Việc đeo khẩu trang ở lần trước hay lần sau gặp không ảnh hưởng đến xác suất nhiễm bệnh mỗi lần gặp nhau. Giả sử anh Hà lần đầu không đeo khẩu trang. Ta có:

Xác suất anh Hà nhiễm bệnh là: \(0,9 + 0,1.0,15 = 0,915 \approx 0,92\).

Tính \({Q_3}\).

Cỡ mẫu: n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33.

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{33}}\) là số thời gian thực hiện cuộc gọi sắp xếp theo thứ tự không giảm.

\({Q_3} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\).

Vì \({x_{25}} \in [120;180)\) và \({x_{26}} \in [180;240)\) nên \({Q_3} = 180\).

Áp dụng các công thức biến đổi logarit \({\log _a}b = \frac{a}{{{{\log }_b}a}}\); \(m{\log _a}b = {\log _a}{b^m}\); \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\).

\({\log _6}45 = \frac{{{{\log }_2}45}}{{{{\log }_2}6}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2}.5}}{{{{\log }_2}2.3}} = \frac{{{{\log }_2}{3^2} + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.{{\log }_3}5}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}}\)

\( = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}3.\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{2a + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{2ab + a}}{{b(1 + a)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}\).

Xác định hình chiếu vuông góc của AC lên mặt phẳng (ABB’A).

Gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên CM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC.

Ta có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng nên \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot CM\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot CM\\AB \bot CM\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot (AA'B'B)\).

Mà M thuộc (AA’B’B) nên M là hình chiếu vuông góc của C lên (AA’B’B).

Do đó, AM là hình chiếu vuông góc của AC lên (AA’B’B).

Vậy góc giữa AC và mặt phẳng (AA’B’B) là \(\widehat {CAM} = {60^o}\) (vì tam giác ABC đều).

Thay số từ dữ kiện của đề bài vào công thức \(f(t) = A.{e^{rt}}\), tính r. Từ r, tính thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.

Số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con nên:

\(f(10) = 5000 \Leftrightarrow 1000.{e^{10r}} = 5000 \Leftrightarrow {e^{10r}} = 5 \Leftrightarrow 10r = \ln 5 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 5}}{{10}}\).

Số vi khuẩn tăng gấp 10 lần sẽ được 1000.10 = 10000 con. Ta có:

\(f(t) = 10000 \Leftrightarrow 1000.{e^{\frac{{\ln 5}}{{10}}t}} = 10000 \Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 5}}{{10}}t}} = 10 \Leftrightarrow \frac{{\ln 5}}{{10}}t = \ln 10 \Leftrightarrow t = \frac{{10\ln 10}}{{\ln 5}} \approx 14,3\) (giờ).