Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Cánh diều - Đề số 5

a) Tần số tương đối của 1,5m năm 2024 là 23,3%.

b) Tỉ lệ chiều cao 1,5m năm 2024 cao hơn năm 2023.

c) Tỉ lệ chiều cao 1,65m năm 2024 và năm 2023 bằng nhau.

d) Tỉ lệ chiều cao từ 1,65m trở lên năm 2024 cao hơn năm 2023 là 3,7%.

a) Khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(AB\) bằng \(\sqrt 3 \).

b) Chu vi đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\pi \).

c) \(OA + OB + OC - OD = 10\sqrt 3 \).

d) Gọi \(x, y, z\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(O\) tới \(AB, BC, CA.\) Giá trị của biểu thức \(xy + \sqrt 3 z\) là \(\frac{{10}}{3}\).

Quan sát bảng thống kê, xác định số bạn có chiều cao trên 1m50.

Lớp 6A có số bạn có chiều cao trên 1m50 là:

13 + 8 + 1 = 22 (bạn)

Đáp án C

Từ dãy số liệu xác định số người thuộc nhóm [30; 40).

Có 5 người thuộc nhóm [30; 40).

Đáp án C

Tính số phần tử của không gian mẫu.

Tính số phần tử của biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”.

Xác suất của biến cố A bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố A với số phần tử của không gian mẫu.

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36\).

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”.

Tập hợp các quả của biến cố A là:

\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {4;1} \right)} \right\}\).

Số phần tử của biến cố A là: \(n\left( A \right) = 10\).

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).

Đáp án D

Quan sát bảng tần số để xác định hai thương hiệu nào có tần số lớn nhất.

Theo bảng tần số, tần số của Lego, Hot Wheel, Cada, Moyu Block, Wange, Sembo Block lần lượt là 18; 9; 5; 18; 3; 7.

Mà 18 > 9 > 7 > 5 > 3 nên tần số của Lego và Moyu Block là lớn nhất.

Vậy cửa hàng nên nhập lego của các hãng Lego và Moyu Block.

Đáp án D

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó.

Đường tròn ở hình 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án B

Chứng minh tam giác AMO, BMO nội tiếp đường tròn nên tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn.

Sử dụng định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp để tính góc AOB.

Sử dụng định lí tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) và tính chất tam giác cân để tính \(\widehat {ABO}\).

Vì MA; MB là các tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot OA,MB \bot OB\).

Do đó \(\Delta AMO;\Delta BMO\) lần lượt vuông tại A và B, do đó \(\Delta AMO;\Delta BMO\) ngoại tiếp đường tròn đường kính OM hay 4 điểm A, M, B, O thuộc cùng một đường tròn.

Do đó AMBO là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp, ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AOB} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {AOB} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \)

Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB) nên \(\widehat {ABO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2} = \frac{{180^\circ - 122^\circ }}{2} = 29^\circ \).

Đáp án B

a) Tần số tương đối của 1,5m năm 2024 là 23,3%.

b) Tỉ lệ chiều cao 1,5m năm 2024 cao hơn năm 2023.

c) Tỉ lệ chiều cao 1,65m năm 2024 và năm 2023 bằng nhau.

d) Tỉ lệ chiều cao từ 1,65m trở lên năm 2024 cao hơn năm 2023 là 3,7%.

Lập bảng tần số tương đối năm 2023 và 2024.

Quan sát bảng trên để xác định tính đúng sai của các khẳng định.

Lập bảng tần số tương đối năm 2023:

Lập được bảng tần số tương đối năm 2024:

Quan sát bảng trên:

- Tần số tương đối của 1,5m năm 2024 là 23,3%. a) đúng

- Tỉ lệ chiều cao 1,5m năm 2024 cao hơn năm 2023. b) sai

- Tỉ lệ chiều cao 1,65m năm 2024 và năm 2023 bằng nhau. c) sai

- Tỉ lệ chiều cao từ 1,65m trở lên năm 2024 cao hơn năm 2023 là 3,7%. d) đúng

Đáp án ĐSSĐ

a) Khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(AB\) bằng \(\sqrt 3 \).

b) Chu vi đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\pi \).

c) \(OA + OB + OC - OD = 10\sqrt 3 \).

d) Gọi \(x, y, z\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(O\) tới \(AB, BC, CA.\) Giá trị của biểu thức \(xy + \sqrt 3 z\) là \(\frac{{10}}{3}\).

a) Khoảng cách từ tâm O đến AB chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. \(r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\). độ dài cạnh tam giác.

b) Từ bán kính đường tròn nội tiếp, tính chu vi đường tròn: \(C = 2\pi r\).

c) Từ độ dài các đoạn thẳng để tính giá trị biểu thức.

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC để xác định khoảng cách từ điểm \(O\) tới \(AB, BC, CA.\)

Tính giá trị biểu thức.

a) Sai

Khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(AB\) bằng khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(AC\) và bằng \(OD\)

Mà \(OD = r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}.4 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) nên khoảng cách từ tâm \(O\) đến \(AB\) bằng \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

b) Đúng

Chu vi đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là: \(C = 2\pi r = 2\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\pi \).

c) Sai

Ta có: OA = OB = OC = R nên OC = \(OC = R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó: \(OA + OB + OC - OD = 3.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\).

d) Đúng

Gọi \(x, y, z\) lần lượt là khoảng cách từ điểm \(O\) tới \(AB, BC, CA\) và bằng \(OD\) (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Mà \(OD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó \(xy + \sqrt 3 z = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{{10}}{3}\).

Đáp án SĐSĐ

Xác định tần số tương đối của khối lượng Ổi đã bán.

Tính khối lượng Ổi đã bán.

Tần số tương đối của khối lượng Ổi là: \(100\% - 25\% - 32\% - 10\% = 33\% \).

Khối lượng Ổi đã bán là: \(200.33\% = 66\left( {kg} \right)\)

Đáp án: 66

Xác định giá trị của x.

Tính số học sinh đi đến trường tương ứng với tần số tương đối x = 40.x%

Giá trị của x là: 100 - 30 - 25 - 25 = 20.

Số học sinh tương ứng với tần số tương đối 20% là: \(40.20\% = 8\) (học sinh)

Đáp án: 8

Xác định không gian mẫu. Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và các phần tử của không gian mẫu.

Kết quả phép thử được viết dưới dạng \(\left( {a,b} \right)\) trong đó \(a,b\)lần lượt là các số trên các thẻ ở hai túi \(I\) và \(II\).

Bảng mô tả không gian mẫu

Số phần tử của không gian mẫu là \(20\).

Vì rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi \(I\) và \(II\)nên các kết quả có thể xảy ra ở trên đồng khả năng.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố “hai tấm thẻ rút ra đều ghi số chẵn” là \(\left( {2;2} \right)\);\(\left( {2;4} \right)\);\(\left( {4;2} \right)\);\(\left( {4;4} \right)\).

Do đó \(P = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5} = 0,2\).

Đáp án: 0,2

Tính góc nội tiếp ABC theo góc ở tâm AOC.

Chứng minh tam giác ABC vuông tại C. Sử dụng hệ thức lượng để tính AC theo R.

Vì \(\widehat {AOC}\) là góc ở tâm chắn cung AC, \(\widehat {ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = \frac{1}{2}.116^\circ = 58^\circ \).

Ta có: \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \).

Do đó tam giác ABC vuông tại C.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC, ta được: \(AC = AB.\sin B = 2R.\sin 58^\circ \).

Đáp án: 58

Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố.

Xác định số phần tử của không gian mẫu.

Xác suất của biến cố bằng tỉ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố với số phần tử của không gian mẫu.

Tổng số học sinh lớp 9C là: 4 + 5 + 12 + 4 + 6 + 9 = 40 (học sinh)

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Học sinh được chọn là nam” là:

5 + 4 + 9 = 18

Xác suất của biến cố A: “Học sinh được chọn là nam” là: \(\frac{{18}}{{40}} = \frac{9}{{20}}\).

b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Học sinh được chọn là nữ và có mục đích là xem phim” là: 12

Xác suất của biến cố B: “Học sinh được chọn là nữ và có mục đích là xem phim” là: \(\frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\).

c) Số kết quả thuận lợi cho biến cố C: “Học sinh được chọn là nam và có mục đích là chơi game hoặc tra cứu tài liệu” là: 9 + 5 = 14

Xác suất của biến cố C: “Học sinh được chọn là nam và có mục đích là chơi game hoặc tra cứu tài liệu” là: \(\frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}\).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai tam giác vuông nội tiếp cùng một đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta AHI\backsim \Delta ABK\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số liên quan đến \(AH,AK\).

a) Ta có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta HKB\) vuông tại K.

\(\widehat {HIB} = 90^\circ \) (dây CD vuông góc với AB tại I) nên \(\Delta HIB\) vuông tại I.

Do đó \(\Delta HKB,\Delta HIB\) cùng nội tiếp đường tròn đường kính HB, suy ra H, I, B, K thuộc một đường tròn hay tứ giác \(BIHK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác AHI và tam giác ABK có:

\(\widehat {HIB} = \widehat {HKB} = 90^\circ \)

\(\widehat A\) chung

nên $\Delta AHI\backsim \Delta ABK$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AB}}{{AK}}\). Do đó \(AH.AK = AI.AB\).

Mà I là trung điểm của AO nên \(AI = \frac{{AO}}{2} = \frac{R}{2}\).

Suy ra \(AH.AK = AI.AB = \frac{R}{2}.2R = {R^2}\) (không đổi).

Vậy \(AH.AK\) có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm \(K\).