đề thi học sinh giỏi thành phố toán 12 năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức vào ngày 28 tháng 09 năm 2022. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán sắp tới.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Câu 1: (Đại số) Cho hàm số y = x³ – 3x + 1 có đồ thị (C).
   • 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;3).
   • 2) Tìm tất cả giá trị của a để qua điểm A(a;-1) kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
   Nhận xét: Câu này tập trung vào kiến thức về tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba. Phần 1 yêu cầu vận dụng kiến thức về phương trình tiếp tuyến, tìm đạo hàm và giải phương trình. Phần 2 là một bài toán khó, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đồ thị hàm số, cũng như khả năng sử dụng các công cụ đại số để giải quyết vấn đề.
2. Câu 2: (Tổ hợp – Xác suất) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho các chữ số 1 và 2 xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. Nhận xét: Đây là một bài toán về tổ hợp và xác suất, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức tính số phần tử của tập hợp, hoán vị và tổ hợp. Bài toán này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề để tìm ra lời giải. Việc đếm số trường hợp thuận lợi sao cho các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau là một thách thức lớn.
3. Câu 3: (Hình học không gian) Cho hình chóp giaibaitoan.com có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
   • 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.
   • 2) Gọi M và N là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng SD và BC thỏa mãn MS/MD = NC/NB. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
   Nhận xét: Câu này kiểm tra kiến thức về hình học không gian, bao gồm các khái niệm về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, và ứng dụng của các định lý trong không gian. Phần 1 yêu cầu học sinh phải sử dụng các công cụ hình học để tính toán khoảng cách. Phần 2 là một bài toán tối ưu hóa, đòi hỏi học sinh phải sử dụng các phương pháp tọa độ hoặc vector để tìm ra giá trị nhỏ nhất của MN.

Đánh giá chung:

Đề thi có cấu trúc rõ ràng, bao gồm các câu hỏi thuộc các chủ đề khác nhau của chương trình Toán lớp 12. Các câu hỏi có độ khó tăng dần, từ các bài toán cơ bản đến các bài toán phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một công cụ hữu ích để đánh giá năng lực của học sinh và giúp các em chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi học sinh giỏi.