đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hà tĩnh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán bậc THPT năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày 22/09/2022 (vòng 1) và 23/09/2022 (vòng 2). Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài 1: Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn a² + b² là tích của các số nguyên tố phân biệt, và mỗi số nguyên tố đó có dạng 8k - 3 với k là số tự nhiên khác 0.
   • a) Giả sử tồn tại p = 8l – 3 (l là số tự nhiên khác 0) là một ước nguyên tố của a⁴ + b⁴. Chứng minh rằng p là ước của cả a và b.
   • b) Tìm tất cả các cặp (m; n) với m, n là số nguyên sao cho a^m + bⁿ và aⁿ – b^m là các số chính phương.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về số học, đặc biệt là các tính chất của số nguyên tố và số chính phương. Câu a yêu cầu thí sinh phải vận dụng các kiến thức về đồng dư và phân tích đa thức thành nhân tử. Câu b đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết số và đại số.
2. Bài 2: Với mỗi cặp số nguyên dương (m; n), giả sử ban đầu có m + n hộp được đánh số từ 1 đến m + n, trong đó m hộp đầu tiên mỗi hộp chứa 1 bi đen và n hộp còn lại mỗi hộp chứa 1 bi trắng. Trong mỗi bước, ta được quyền chuyển một bi đen từ hộp i sang hộp i + 1 và một bi trắng từ hộp j sang hộp j – 1 với điều kiện i – j là một số chẵn.
   • a) Chứng minh rằng cặp (1; 2021) là cặp xấu.
   • b) Tìm số cặp số nguyên dương (m; n) tốt trong mỗi trường hợp m + n = 2022 và m + n = 2023.
   Nhận xét: Bài toán này mang tính chất tổ hợp và tư duy logic. Việc chứng minh cặp (1; 2021) là cặp xấu đòi hỏi thí sinh phải phân tích kỹ lưỡng các bước chuyển bi và chỉ ra sự bất khả thi của việc đạt được trạng thái mong muốn. Câu b yêu cầu thí sinh phải tìm ra các điều kiện cần và đủ để một cặp (m; n) được gọi là tốt.
3. Bài 3: An và Bình đến cửa hàng mua kẹo. Trong cửa hàng có các túi kẹo loại 1 chiếc, 2 chiếc, 4 chiếc … 2³⁰ chiếc. Mỗi loại có nhiều túi. Mỗi bạn chọn mua một số túi ở nhiều loại và mỗi loại có thể mua nhiều túi.
   • a) Số túi ít nhất An cần phải mua để có đúng 1000 chiếc kẹo là bao nhiêu?
   • b) Có bao nhiêu cách chọn 5 túi kẹo đôi một khác loại sao cho tổng số chiếc kẹo được chọn không vượt quá 2023 và nếu túi loại 2ⁿ được chọn (n là số tự nhiên và n ≤ 29) thì túi loại 2ⁿ⁺¹ không được chọn?
   • c) Giả sử sau khi mua, An và Bình lần lượt có n và n + 1 (n là số tự nhiên và 0 ≤ n ≤ 2023) chiếc kẹo, đồng thời An có nhiều hơn Bình 7 túi kẹo. Có bao nhiêu giá trị n thỏa mãn các điều kiện trên, biết An và Bình luôn mua ít túi nhất có thể?
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về hệ nhị phân, tổ hợp và tối ưu hóa. Câu a yêu cầu thí sinh phải biểu diễn số 1000 dưới dạng tổng của các lũy thừa của 2 và tìm cách sử dụng ít túi nhất. Câu b đòi hỏi sự tính toán cẩn thận và sử dụng các công thức tổ hợp. Câu c là một bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau.

Đánh giá chung: Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2022 – 2023 tỉnh Hà Tĩnh có cấu trúc khá cân bằng, bao gồm các bài toán về số học, tổ hợp và đại số. Các bài toán đều có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng và khả năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Đề thi này là một thử thách lớn đối với các học sinh có đam mê và năng khiếu với môn Toán.