đề thi hsg toán 12 năm 2022 – 2023 trường thpt chuyên lê quý đôn – bình định

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình Định. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 16 tháng 09 năm 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài toán 1: Xét 300 viên bi, mỗi viên có một màu và tổng số màu của tất cả các viên bi là 25. Một viên bi được gọi là "viên bi đặc biệt" nếu trong 299 viên bi còn lại, số lượng viên bi cùng màu với nó không vượt quá 9. Hỏi số lượng viên bi đặc biệt tối đa có thể là bao nhiêu?
   Nhận xét: Đây là một bài toán đếm và tư duy logic. Để giải quyết bài toán này, cần phân tích kỹ điều kiện "viên bi đặc biệt" và tìm cách ước lượng số lượng viên bi thỏa mãn điều kiện đó. Bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận và tìm ra các giới hạn phù hợp.
2. Bài toán 2: Cho tam giác ABC không cân, (I) là đường tròn nội tiếp, các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. AD cắt EF tại J. Các điểm M, N di chuyển trên (I) sao cho M, N, J thẳng hàng. DM cắt AC tại P, DN cắt AB tại Q. Gọi U, V lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (ME;FN) và (MF;EN).
   a. Gọi G là giao điểm của EF và BC, chứng minh G, U, V thẳng hàng.
   b. Chứng minh MN, PQ, UV đồng quy.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về hình học phẳng, kết hợp kiến thức về đường tròn nội tiếp, định lý Ceva, Menelaus và các tính chất của giao điểm. Độ khó của bài toán nằm ở việc thiết lập các mối liên hệ giữa các điểm và chứng minh sự đồng quy. Việc sử dụng các phép biến hình có thể hỗ trợ trong quá trình giải quyết bài toán.
3. Bài toán 3: Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu 1 + p + a chia hết cho p (với a là số nguyên dương) thì 1 + p² + a² cũng chia hết cho 2p.
   Nhận xét: Đây là một bài toán về số học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất chia hết và sử dụng các phép biến đổi đại số một cách khéo léo. Bài toán có thể được giải quyết bằng cách sử dụng giả thiết chia hết để biểu diễn a theo p và sau đó chứng minh biểu thức 1 + p² + a² chia hết cho 2p.

Đánh giá chung: Đề thi HSG Toán 12 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo và đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic mạnh mẽ. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi HSG môn Toán.