đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt thái nguyên

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên tổ chức. Đây là một nguồn tài liệu quý giá để ôn luyện và rèn luyện kỹ năng giải toán, đặc biệt là đối với các em học sinh có mong muốn tham gia vào đội tuyển học sinh giỏi.

Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các chủ đề Toán học ở lớp 12, cùng với khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các công cụ Toán học để giải quyết vấn đề. Dưới đây là nội dung chi tiết của bộ đề:

1. Bài toán 1: Cho x, y là các số nguyên dương lớn hơn 2 và A = y(4y + 5/x) – 1/y + x. Biết rằng A là một số nguyên dương. Chứng minh rằng A là số chính phương.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc chứng minh một biểu thức là số chính phương. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về số nguyên, số chính phương và các kỹ năng biến đổi đại số. Việc tìm ra một cách biểu diễn phù hợp của A để nhận ra nó là một số chính phương là chìa khóa để giải quyết bài toán.

2. Bài toán 2: Cho a, b, c, m là các số nguyên dương và a, b, c không vượt quá n. Giả sử phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn |x₁ – x₂| < 1/n. Chứng minh rằng nó có ít nhất hai ước số là số nguyên tố.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về phương trình bậc hai, nghiệm của phương trình và lý thuyết số. Điều kiện |x₁ – x₂| < 1/n cho thấy sự liên hệ mật thiết giữa các hệ số của phương trình và nghiệm của nó. Việc chứng minh phương trình có ít nhất hai ước số nguyên tố đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về ước số, số nguyên tố và các phương pháp chứng minh trong lý thuyết số.

3. Bài toán 3: Cho tam giác nhọn không cân ABC, (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của (I) và BC, CA, AB. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua EF, FD, DE. K là trực tâm của tam giác DEF.
   1. Chứng minh rằng các tam giác DEF, A’B’C’ có diện tích bằng nhau.
   2. Giả sử ba đường thẳng DA’, EB’, FC’ đôi một cắt nhau tạo thành tam giác XYZ. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác XYZ là trung điểm của KI.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về hình học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đường tròn nội tiếp, tính chất đối xứng, trực tâm của tam giác và các định lý liên quan đến diện tích tam giác. Việc sử dụng các phép biến hình và các tính chất hình học để chứng minh các kết quả trong bài toán là rất quan trọng. Phần b của bài toán có độ khó cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy không gian và kết hợp các kiến thức hình học một cách linh hoạt.

Đánh giá chung: Bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 tỉnh Thái Nguyên là một bộ đề chất lượng, có tính phân loại cao. Việc giải quyết thành công các bài toán trong bộ đề này sẽ giúp học sinh nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia.