đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt hải dương

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 21 tháng 09 năm 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài hình học: Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là hình chiếu của I trên BC, AD cắt lại (O) tại G. Lấy E và F lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và cung lớn BC. Hai đường thẳng ID và FG cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC.
   • a) Chứng minh rằng điểm H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.
   • b) Gọi P là điểm trên đường thẳng ID sao cho MP = MB và K trên đường thẳng BC sao cho KP vuông góc PM, KI cắt FG tại N và MN cắt AI tại J. Chứng minh E là trung điểm của IJ.
   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng của đường tròn và các kỹ năng chứng minh hình học nâng cao. Việc sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.
2. Bài đại số: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a; b; c) thỏa mãn: a^b + 1 | (a + 1)^c. Nhận xét: Bài toán đại số này tập trung vào việc sử dụng các tính chất chia hết và các kỹ năng phân tích số học. Thí sinh cần phải tìm hiểu các điều kiện để một số chia hết cho một số khác và sử dụng các phương pháp chứng minh chia hết để giải quyết bài toán.
3. Bài tổ hợp – xác suất: Bạn A có một số chiếc thẻ thuộc ba loại thẻ: thẻ hai mặt đỏ; thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ; thẻ hai mặt vàng. Bạn ấy không phân biệt được màu sắc nên cần một máy scan để quét. Tuy nhiên máy này cũng chỉ có thể phân biệt được tất cả các mặt thẻ úp xuống đưa vào trong máy có đều là màu vàng hay không. Nghĩa là nếu tất cả các mặt úp đều vàng nó sẽ báo vàng, còn chỉ cần có một mặt đỏ trong số đó thì nó báo không vàng. Mỗi lần bạn ấy có thể chọn bao nhiêu thẻ để đưa vào cũng được.
   • a) Chứng minh rằng nếu A có n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và n – 1 thẻ hai mặt vàng thì A có thể sử dụng máy để tìm ra thẻ hai mặt đỏ sau nhiều nhất là [log₂n] bước.
   • b) Xét dãy số Fibonacci (F) với F₁ = 1, F₂ = 1, F_n+2 = F_n+1 + F_n với n ≥ 1. Với n ≥ 4, giả sử bạn A có F_n thẻ gồm một thẻ hai mặt đỏ và một thẻ một mặt vàng, một mặt đỏ, còn lại là các thẻ hai mặt vàng. Hỏi bạn ấy có thuật toán nào để có thể tìm ra thẻ hai mặt đỏ bằng cách sử dụng máy nhiều nhất n lần hay không?
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp, xác suất và tư duy thuật toán. Phần a yêu cầu thí sinh phải tìm ra một chiến lược để tìm thẻ hai mặt đỏ một cách hiệu quả. Phần b đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về dãy Fibonacci và xây dựng một thuật toán tối ưu để tìm thẻ hai mặt đỏ trong một số bước giới hạn.

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2022 – 2023 tỉnh Hải Dương là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Việc giải được đề thi này đòi hỏi thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. giaibaitoan.com hy vọng rằng việc cung cấp đề thi này sẽ giúp quý thầy cô và các em học sinh có thêm tài liệu để ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán.