đề thi học sinh giỏi thành phố toán 12 năm 2023 – 2024 sở gd&đt hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức vào ngày 30 tháng 09 năm 2023. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán sắp tới.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Câu 1: (Đại số) Cho hàm số y = 2x³ – 3(2m – 1)x² – 12mx có đồ thị (Cm) với m là tham số thực.
   • 1) Khi m = 1, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M và N sao cho ON = 24OM.
   • 2) Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành.
   Nhận xét: Câu này tập trung vào kiến thức về đạo hàm, điều kiện tiếp tuyến, và khảo sát hàm số bậc ba. Yêu cầu về mối quan hệ giữa ON và OM trong phần 1 đòi hỏi học sinh phải vận dụng tốt kiến thức về tọa độ điểm và phương trình đường thẳng. Phần 2 kiểm tra khả năng phân tích điều kiện để hàm số có cực trị và vị trí tương đối của chúng so với trục hoành.
2. Câu 2: (Tổ hợp – Xác suất) Xét tập hợp S gồm tất cả các bộ số (x;y;z) với x, y, z là các số nguyên dương không lớn hơn 30.
   • 1) Hỏi có bao nhiêu bộ số (x;y;z) thuộc tập hợp S thỏa mãn x + y + z = 5?
   • 2) Lấy ngẫu nhiên một bộ số (a;b;c) từ tập hợp S. Tính xác suất để lấy được bộ số thỏa mãn a + b + c < 30.
   Nhận xét: Câu này kiểm tra kiến thức về tổ hợp và xác suất. Phần 1 là bài toán đếm cơ bản, sử dụng phương pháp liệt kê hoặc công thức tổ hợp. Phần 2 đòi hỏi học sinh phải tính được số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố, sau đó tính xác suất.
3. Câu 3: (Hình học không gian) Cho hình chóp giaibaitoan.com có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết SA = 3 và tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 4.
   • 1) Tính số đo của góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC).
   • 2) Cho điểm I xác định bởi 2IA + 3IB + 4IC = 0. Xét mặt phẳng (a) thay đổi đi qua trung điểm của đoạn thẳng SI và cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại các điểm M, N, P (với M, N, P không trùng với S). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 4/SM² + 9/SN² + 16/SP².
   Nhận xét: Câu này tập trung vào kiến thức về hình học không gian, bao gồm tính góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng vectơ trong không gian và ứng dụng bất đẳng thức. Phần 2 là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng vận dụng các kỹ thuật giải toán nâng cao. Việc sử dụng tọa độ hoặc phương pháp vectơ có thể giúp đơn giản hóa bài toán.

Đánh giá chung:

Đề thi có độ khó tương đối cao, phân loại rõ ràng học sinh khá giỏi. Các câu hỏi bao phủ nhiều kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 12, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi cũng có tính ứng dụng thực tế, giúp học sinh rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề trong các tình huống khác nhau.

Đây là một đề thi tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán. giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều đề thi và tài liệu ôn tập khác để hỗ trợ quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình học tập.