đề thi olympic toán 11 năm 2023 – 2024 liên cụm trường thpt – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi Olympic Toán năm học 2023 – 2024 dành cho học sinh các trường THPT liên cụm thành phố Hà Nội. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 09 tháng 03 năm 2024, và đặc biệt, giaibaitoan.com cung cấp kèm theo đề thi đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và tự học.

Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 – 2024 liên cụm trường THPT – Hà Nội bao gồm ba bài toán lớn, thể hiện sự đa dạng và tính chất thách thức của môn Toán:

1. Bài toán 1: Phương trình lượng giác

Cho phương trình: cos²x - 3sin²x = m, với m là tham số thực.

• a) Giải phương trình khi m = 0.
• b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng (0; 2π).

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác, các phép biến đổi lượng giác và khả năng xét dấu, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trong một khoảng cho trước. Yêu cầu thí sinh nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng giải phương trình.

2. Bài toán 2: Tổ hợp – Xác suất

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó, các chữ số 1, 2, 3 đều xuất hiện 2 lần.

• a) Tính số phần tử của tập hợp S.
• b) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Tính xác suất để số đó là số chẵn.
• c) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Tính xác suất để số đó có các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về hoán vị, tổ hợp và xác suất. Phần a yêu cầu tính số lượng các số có dạng đặc biệt, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ cách sử dụng công thức hoán vị có phần tử lặp lại. Các phần b và c yêu cầu vận dụng kiến thức về xác suất để tính toán, đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong các bước tính toán. Bài toán c có độ khó cao hơn, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.

3. Bài toán 3: Hình học không gian

Cho hình chóp giaibaitoan.com có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 60, AC = a. Đường thẳng SB vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SB = a. Gọi O, E lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC và AB.

• a) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng SA và CE. Tính cosφ.
• b) Một mặt phẳng song song với hai đường thẳng OA và SB cắt các cạnh AB, SA, SC, BC của hình chóp giaibaitoan.com lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.
• c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác MNPQ.

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về hình học không gian, bao gồm các khái niệm về góc giữa hai đường thẳng, mặt phẳng song song và tính chất của hình thang. Phần a yêu cầu thí sinh sử dụng vector để tính góc giữa hai đường thẳng. Phần b đòi hỏi thí sinh phải chứng minh được tứ giác MNPQ là hình thang bằng cách sử dụng các tính chất của mặt phẳng song song. Phần c là phần khó nhất, yêu cầu thí sinh phải tìm được mối quan hệ giữa diện tích tứ giác MNPQ và các yếu tố của hình chóp, sau đó sử dụng các phương pháp tối ưu để tìm giá trị lớn nhất.

Nhìn chung, đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 – 2024 liên cụm trường THPT – Hà Nội có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy logic. Việc có đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết từ giaibaitoan.com sẽ là một nguồn tài liệu quý giá giúp các em học sinh ôn tập và nâng cao trình độ môn Toán.