đề toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường chuyên khtn – hà nội (vòng 2)

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên KHTN Hà Nội năm 2019 (Vòng 2), dành cho các thí sinh dự thi vào các lớp chuyên Toán – Tin. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Đề thi gồm 4 bài toán, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 90 phút. Cấu trúc đề thi bao gồm các dạng toán quen thuộc trong chương trình THCS nhưng được nâng cấp độ khó, đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài 1: Bất đẳng thức

   Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4x² + 4y² + 17xy + 5x + 5y ≥ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 17x² + 17y² + 16xy.

   Nhận xét: Đây là một bài toán bất đẳng thức khá khó, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy-Schwarz, hoặc phương pháp đánh giá. Việc tìm ra lời giải tối ưu có thể cần sự biến đổi khéo léo và kinh nghiệm giải toán.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác ABC cân tại A, có đường tròn nội tiếp (I). Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A; F khác B và A) sao cho EF tiếp xúc với đường tròn (I) tại điểm P. Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC. Giả sử FK cắt EL tại điểm J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của J lên BC.

   1. Chứng minh rằng HJ là phân giác của góc EHF.
   2. Ký hiệu S₁ và S₂ lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng: S₁/S₂ = BF²/CE².
   3. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J, D thẳng hàng.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, tính chất tiếp xúc, và các định lý hình học cơ bản. Việc chứng minh các mối quan hệ hình học và tính diện tích đòi hỏi sự quan sát tinh tế và khả năng suy luận logic.

3. Bài 3: Số học

   Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ -2019 đến 2019. Chứng minh rằng trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ tập M luôn tồn tại 3 số đôi một phân biệt có tổng bằng 0.

   Nhận xét: Đây là một bài toán số học mang tính chất tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng áp dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và chứng minh một mệnh đề tổng quát.

Nhìn chung, đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên KHTN Hà Nội năm 2019 (Vòng 2) là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào các trường chuyên.