đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2022 – 2023 trường ptnk – tp hcm

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2022 – 2023 của trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Đề thi chính thức được tổ chức vào thứ Hai, ngày 06 tháng 06 năm 2022, với cấu trúc gồm 5 câu tự luận và thời gian làm bài là 120 phút (không tính thời gian phát đề).

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải quyết các bài toán. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Câu 1: Hệ phương trình bậc hai

   Cho hai phương trình: x² – 2ax + 3a = 0 (1) và x² – 4x + a = 0 (2), với a là tham số.

   • a) Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
   • b) Giả sử cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. Gọi T₁ và T₂ lần lượt là tổng bình phương các nghiệm của (1) và (2). Chứng minh T₁ + 5T₂ > 68.

   Nhận xét: Câu này kiểm tra kiến thức cơ bản về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và các công thức liên hệ giữa nghiệm và hệ số. Phần b yêu cầu học sinh phải biến đổi khéo léo để đưa về một bất đẳng thức quen thuộc và chứng minh.

2. Câu 2: Phương trình hàm số mũ

   Cho phương trình 2^x + 5^y = k (x, y, k là các số nguyên dương).

   • a) Chứng minh rằng với mọi k, phương trình không có nghiệm (x;y) với y chẵn.
   • b) Tìm k để phương trình có nghiệm.

   Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình hàm số mũ, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích để loại trừ các trường hợp không thể xảy ra. Việc chứng minh không tồn tại nghiệm với y chẵn là một điểm nhấn của câu hỏi.

3. Câu 3: Hình học – Đường tròn và tam giác

   Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Lấy D đối xứng với H qua A. Gọi I là trung điểm CD, đường tròn (I) đường kính CD cắt AB tại các điểm E, F (E thuộc tia AB).

   • a) Chứng minh ECD = FCH và AE = AF.
   • b) Chứng minh H là trực tâm của tam giác CEF.
   • c) Gọi K là giao điểm BH và AC. Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp và EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác CKE và CKF.
   • d) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại C của (I) và tiếp tuyến tại K của đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF cắt nhau trên đường thẳng AB.

   Nhận xét: Câu hình học này có độ phức tạp cao, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về đường tròn, tam giác, trực tâm, đối xứng và các tính chất liên quan. Các ý nhỏ trong câu hỏi có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, đòi hỏi học sinh phải có tư duy hệ thống để giải quyết.

Nhìn chung, đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán trường PTNK năm 2022 – 2023 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực của học sinh một cách toàn diện. Việc ôn luyện kỹ lưỡng kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong kỳ thi này.