giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2022 của trường THPT chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Điểm đặc biệt của tài liệu này là đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ chuyên gia của CLB Toán Lim, bao gồm các thành viên: Nguyễn Duy Khương, Nguyễn Hoàng Việt, Trịnh Đình Triển, Trương Mạnh Tuấn, TQĐ, Nguyễn Văn Hoàng và Nguyễn Khang.
Dưới đây là nội dung trích dẫn đề thi:
Cho các điểm A1, A2, …, A30 theo thứ tự nằm trên một đường thẳng sao cho độ dài các đoạn AkAk+1 bằng k (đơn vị dài), với k = 1, 2, …, 29. Ta tô màu mỗi đoạn thẳng A1A2, …, A29A30 bởi 1 trong 3 màu (mỗi đoạn được tô bởi đúng một màu). Chứng minh rằng với mọi cách tô màu, ta luôn chọn được hai số nguyên dương 1 ≤ j < i ≤ 29 sao cho hai đoạn AiAi+1 và AjAj+1 được tô cùng màu và i − j là bình phương của số nguyên dương.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về dãy số, tính chất chia hết và nguyên lý Dirichlet. Lời giải thường dựa trên việc xét các trường hợp và sử dụng tính chất của bình phương số nguyên để chứng minh.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), P thay đổi nằm trong tam giác sao cho E, F là hình chiếu của P lên CA, AB thì BFEC nội tiếp đường tròn (K). 1) Chứng minh rằng: AP ⊥ BC. 2) Chứng minh rằng: AP = 2OK. 3) Đường thẳng qua P vuông góc AP cắt (O) tại Q, R. Chứng minh rằng: (A; AP) tiếp xúc (KQR).
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng hình học phẳng nâng cao, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng và quan hệ vuông góc. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các định lý liên quan.
Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn điều kiện 1/a + 1/b + 1/c = 1. Chứng minh rằng?
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán bất đẳng thức quen thuộc, thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải quyết bài toán này, học sinh có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Cauchy-Schwarz, AM-GM hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp.
Việc có được đề thi chính thức cùng với lời giải chi tiết từ CLB Toán Lim là một nguồn tài liệu vô cùng quý giá cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
