phương pháp hàm số giải bài toán gtln – gtnn và bất đẳng thức hai biến số

Tài liệu chuyên đề về phương pháp hàm số trong giải quyết bài toán GTLN – GTNN và bất đẳng thức hai biến: Đánh giá chi tiết

Tài liệu gồm 28 trang do thầy giáo Lê Bá Bảo biên soạn, tập trung vào việc ứng dụng phương pháp hàm số để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) – giá trị nhỏ nhất (GTNN) và các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hai biến. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Tài liệu này hứa hẹn cung cấp một hệ thống kiến thức và kỹ năng cần thiết để học sinh có thể tiếp cận và giải quyết hiệu quả các dạng bài tập phức tạp.

Điểm mạnh của tài liệu nằm ở việc hệ thống hóa các kỹ thuật giải quyết bài toán một cách rõ ràng, cụ thể. Dưới đây là phân tích chi tiết về từng kỹ thuật được đề cập:

1. Kỹ thuật 1: Thế biến đưa về khảo sát hàm một biến
   • Đây là kỹ thuật cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp đơn giản hóa bài toán bằng cách giảm số lượng biến độc lập.
   • Bước 1: Việc rút một biến và xác định miền giá trị của biến đó là yếu tố then chốt. Sai sót trong bước này có thể dẫn đến kết quả sai lệch. Cần đặc biệt chú ý đến các ràng buộc của bài toán để đảm bảo miền giá trị của biến được rút là chính xác.
   • Bước 2: Sau khi thế biến, bài toán trở thành bài toán khảo sát hàm số một biến, đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị, và các phương pháp khảo sát hàm số thông thường.
2. Kỹ thuật 2: Xử lý biểu thức đối xứng hai biến
   • Kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả với các bài toán có biểu thức đối xứng với hai biến x và y.
   • Bước 1: Việc đặt t = x + y hoặc t = xy là một bước đi chiến lược. Lựa chọn đặt t nào phụ thuộc vào cấu trúc của biểu thức cần tìm GTLN – GTNN. Việc tìm miền giá trị của t (D) là bước quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
   • Bước 2: Thay biến và khảo sát hàm số theo t trên miền D. Đây là bước áp dụng kỹ thuật khảo sát hàm số đã học ở kỹ thuật 1.
3. Kỹ thuật 3: Đổi biến đẳng cấp

   Kỹ thuật này chưa được trình bày chi tiết trong đoạn nội dung, nhưng có thể hiểu là việc sử dụng các phép biến đổi để đưa biểu thức về dạng đẳng cấp, từ đó đơn giản hóa bài toán.

4. Kỹ thuật 4: Đánh giá kết hợp đổi biến

   Đây là kỹ thuật nâng cao, được sử dụng khi các kỹ thuật cơ bản không đủ để giải quyết bài toán. Nó đòi hỏi người học phải có khả năng phân tích, đánh giá và lựa chọn các phương pháp phù hợp. Việc kết hợp đánh giá và đổi biến có thể giúp đơn giản hóa biểu thức và tìm ra GTLN – GTNN một cách hiệu quả.

   Trong nhiều trường hợp, việc đánh giá đòi hỏi sự linh hoạt và sáng tạo, cũng như kiến thức về các bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy-Schwarz, AM-GM, Bunyakovsky, v.v.).

Nhận xét chung:

Tài liệu này cung cấp một hướng tiếp cận rõ ràng và có hệ thống cho việc giải quyết các bài toán GTLN – GTNN và bất đẳng thức hai biến bằng phương pháp hàm số. Tuy nhiên, để khai thác tối đa hiệu quả của tài liệu, người học cần có nền tảng kiến thức vững chắc về khảo sát hàm số, bất đẳng thức, và các kỹ năng biến đổi đại số. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải quyết bài toán.

Việc tài liệu chưa đi sâu vào kỹ thuật 3 và 4 là một hạn chế nhỏ, tuy nhiên, với những kỹ thuật cơ bản đã được trình bày chi tiết, người học có thể tự mình khám phá và mở rộng kiến thức để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.