tìm tọa độ giao điểm, đếm số giao điểm của các đồ thị hàm số

Chuyên đề: Tìm tọa độ giao điểm và đếm số giao điểm của đồ thị hàm số – Giải tích 12

Đây là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Bài viết này sẽ hệ thống hóa phương pháp giải các bài toán liên quan đến việc tìm tọa độ giao điểm và đếm số giao điểm của các đồ thị hàm số, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp học sinh nắm vững kiến thức.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Nguyên tắc cơ bản để tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là giải phương trình \(f(x) = g(x)\). Số nghiệm phân biệt của phương trình này chính là số giao điểm của hai đồ thị.

Lưu ý quan trọng:

• Trục hoành có phương trình \(y = 0\). Do đó, để tìm giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với trục hoành, ta giải phương trình \(f(x) = 0\).
• Khi giải phương trình, cần kiểm tra điều kiện xác định của hàm số để đảm bảo nghiệm tìm được hợp lệ.

Chuyên đề này tập trung vào hai trường hợp chính:

1. Cho hàm số, tìm số giao điểm của các đồ thị.
2. Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số, tìm số giao điểm của các đồ thị.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\). Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0\). Phân tích đa thức, ta được \((x-1)(x-2)(x-3) = 0\). Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1, x = 2, x = 3\). Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1}\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là \(\frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1} = 0\). Điều kiện: \(x^2 – x + 1 \neq 0\) (luôn đúng với mọi x thực). Phương trình trở thành \(x^2 – 2x – 3 = 0\), giải ra ta được \(x = -1\) hoặc \(x = 3\). Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \(A(-1; 0)\) và \(B(3; 0)\).

Ví dụ 3: Cho hàm số \(f(x) = x^3 + 4x – 2\) và \(g(x) = 3x^2 + 4x – 4\). Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là \(x^3 + 4x – 2 = 3x^2 + 4x – 4\), tương đương với \(x^3 – 3x^2 + 2 = 0\). Phân tích đa thức, ta được \((x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0\). Phương trình có các nghiệm \(x = 1\), \(x = 1 + \sqrt{3}\), \(x = 1 - \sqrt{3}\). Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f(x) = \frac{3x + 1}{x + 1}\) và \(g(x) = 3 – x\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm là \(\frac{3x + 1}{x + 1} = 3 – x\). Điều kiện: \(x \neq -1\). Giải phương trình, ta được \(x^2 + x – 2 = 0\), suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = -2\). Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện \(x \neq -1\). Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại \(A(1; 2)\) và \(B(-2; 5)\).

Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) – 2 = 0\).

Giải: Phương trình \(3f(x) – 2 = 0\) tương đương với \(f(x) = \frac{2}{3}\). Vẽ đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\) lên đồ thị hàm số. Số giao điểm của đường thẳng này với đồ thị hàm số chính là số nghiệm của phương trình. Quan sát hình vẽ, ta thấy có 3 giao điểm, do đó phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) + 17 = 0\).

Giải: Phương trình \(3f(x) + 17 = 0\) tương đương với \(f(x) = -\frac{17}{3}\). Vẽ đường thẳng \(y = -\frac{17}{3}\) lên đồ thị hàm số. Từ bảng biến thiên, ta thấy \(-\frac{17}{3} \approx -5.67\) nằm giữa -6 và -5. Đường thẳng \(y = -\frac{17}{3}\) cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm, do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho hàm số \(f(x) = x^3 + 3x^2 – 3x – 5\). Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Bài 2: Cho hàm số \(f(x) = x^4 – 4x^2 + 3\). Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Bài 3: Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 3x + 5\) và \(g(x) = -x^2 – 3x + 7\). Xác định số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Bài 4: Cho hàm số \(f(x) = \frac{3x – 2}{x – 1}\) và \(g(x) = 3x + 2\). Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.

A. A(0;2), B(2;4). B. A(2;2), B(0;4). C. A(2;0), B(4;0). D. A(0;2), B(4;2).

Bài 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xác định số nghiệm của phương trình \(6f(x) + 15 = 0\).

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.

Bài 6: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xác định số nghiệm của phương trình \(4f(x) – 3 = 0\).

A. 6. B. 3. C. 5. D. 4.

Bài 7: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xác định số nghiệm của phương trình \(f(x) – x = 4\).

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Bài 8: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Xác định số nghiệm của phương trình \(2f(x) – 3 = 0\).

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Bài 9: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên. Xác định số nghiệm của phương trình \(f(x) + 1 = 0\).

A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.

Bài 10: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên. Xác định số nghiệm của phương trình \({f^2}(x) – 3f(x) + 2 = 0\).

A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện được trình bày tương tự như phần bài tập trắc nghiệm)

V. BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Bảng đáp án được trình bày tương tự như phần bài tập trắc nghiệm)