Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một góc trong tam giác là tia phân giác của góc đó. Tia phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác và là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn này tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

3. Chứng minh tính chất ba đường phân giác đồng quy

Để chứng minh tính chất này, ta sử dụng định lý về giao điểm của ba đường phân giác. Giả sử tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm I. Ta cần chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì I là giao điểm của AD, BE, CF nên I cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Do đó, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

4. Ứng dụng của tính chất ba đường phân giác

• Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ đoạn thẳng trên cạnh tam giác khi có đường phân giác.
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
• Chứng minh các tính chất hình học liên quan đến đường phân giác.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi AD là đường phân giác của góc BAC. Tính độ dài BD và CD.

Giải: Theo tính chất đường phân giác, ta có: BD/CD = AB/AC = 5/8. Mà BD + CD = BC = 7cm. Giải hệ phương trình này, ta được BD = 2.92cm và CD = 4.08cm.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính khoảng cách từ I đến AB và AC.

Giải: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, khoảng cách từ I đến AB và AC bằng bán kính của đường tròn nội tiếp. Bán kính này được tính bằng công thức: r = (AB + AC - BC)/2 = (3 + 4 - 5)/2 = 1cm. Vậy khoảng cách từ I đến AB và AC đều bằng 1cm.

6. Mở rộng kiến thức

Ngoài tính chất ba đường phân giác, còn có tính chất của ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường trung trực của tam giác. Việc nắm vững các tính chất này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn.

7. Kết luận

Tính chất ba đường phân giác của tam giác là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 7. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất này và có thể áp dụng nó vào giải các bài tập thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình!