Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Phân thức đại số là biểu thức đại số có dạng A/B, trong đó A và B là các biểu thức đại số. Để hiểu rõ hơn về phân thức đại số, chúng ta cần nắm vững các tính chất cơ bản của nó.

1. Khái niệm phân thức đại số

Một phân thức đại số là biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các đa thức. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số. Điều kiện xác định của phân thức là Q ≠ 0.

2. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Tính chất cơ bản của phân thức đại số được thể hiện qua hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân thức với một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. Ví dụ: A/B = (A.M)/(B.M) với M ≠ 0
Quy tắc 2: Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân thức với một đa thức khác 0 thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu. Ví dụ: A/B = (A:M)/(B:M) với M ≠ 0

3. Áp dụng tính chất cơ bản để rút gọn phân thức

Rút gọn phân thức là việc biến đổi phân thức thành một phân thức tương đương có tử và mẫu là các đa thức đơn giản nhất. Để rút gọn phân thức, ta thực hiện các bước sau:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ví dụ: Rút gọn phân thức (x² - 1)/(x² + 2x + 1)

Giải:

Phân tích tử: x² - 1 = (x - 1)(x + 1)
Phân tích mẫu: x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Phân thức trở thành: [(x - 1)(x + 1)]/[(x + 1)²]
Chia cả tử và mẫu cho (x + 1): (x - 1)/(x + 1)

Vậy phân thức rút gọn là (x - 1)/(x + 1).

4. Tìm mẫu thức chung của hai phân thức

Để thực hiện các phép toán cộng, trừ phân thức, ta cần tìm mẫu thức chung của hai phân thức. Mẫu thức chung là đa thức chia hết cho cả mẫu của hai phân thức. Có nhiều cách để tìm mẫu thức chung, nhưng một cách phổ biến là: