Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

I. Giới thiệu chung

Trong chương trình Toán 11, việc làm quen với hình học không gian là một bước quan trọng. Bài 1 này tập trung vào việc xây dựng nền tảng kiến thức về điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Các em sẽ học cách xác định vị trí tương đối của chúng, cũng như các tính chất cơ bản liên quan.

II. Các khái niệm cơ bản

1. Điểm trong không gian

Điểm trong không gian là một khái niệm cơ bản, không có định nghĩa trực quan. Tuy nhiên, chúng ta có thể hiểu điểm là vị trí xác định trong không gian ba chiều. Để xác định một điểm trong không gian, chúng ta cần sử dụng hệ tọa độ Descartes (Oxyz) với ba trục vuông góc nhau.

2. Đường thẳng trong không gian

Đường thẳng trong không gian có thể được xác định bằng nhiều cách khác nhau:

Xác định bởi hai điểm phân biệt: Một đường thẳng duy nhất đi qua hai điểm phân biệt.
Xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương: Một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và có hướng xác định bởi một vectơ chỉ phương.
Xác định bởi phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vectơ chỉ phương.

3. Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bằng nhiều cách:

Xác định bởi ba điểm không thẳng hàng: Một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến: Một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một vectơ pháp tuyến.
Xác định bởi phương trình: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

III. Quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng

1. Điểm và đường thẳng

Một điểm thuộc đường thẳng nếu tọa độ của điểm thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng. Nếu điểm không thuộc đường thẳng, ta có thể xét khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

2. Điểm và mặt phẳng

Một điểm thuộc mặt phẳng nếu tọa độ của điểm thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Nếu điểm không thuộc mặt phẳng, ta có thể xét khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

3. Đường thẳng và mặt phẳng

Có ba trường hợp xảy ra:

Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Mọi điểm trên đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng.
Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng có duy nhất một điểm chung với mặt phẳng (giao điểm).

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy làm các bài tập sau:

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng cho trước.
Xác định vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho trước.
Tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước.

V. Kết luận

Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là nền tảng quan trọng cho việc học hình học không gian. Việc nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Chúc các em học tốt!