Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết quan trọng nhất trong chương trình Hình học không gian lớp 11 - Lý thuyết Điểm, Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian, thuộc SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết để hiểu rõ về vị trí tương đối giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cũng như các tính chất và định lý liên quan.
1. Mặt phẳng
1. Mặt phẳng
Hình ảnh mặt phẳng trong thực tiễn
- Biểu diễn một mặt phẳng: Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành.
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa đặt trong dấu ngoặc ( ). Mặt phẳng (P) còn được viết là mp(P) hay (P).
* Điểm thuộc mặt phẳng
- Điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, ta kí hiệu \(A \in (P)\)
- Điểm B không thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói B nằm ngoài (P) hay (P) không chứa B, ta kí hiệu \(B \notin (P)\).
* Biểu diễn các hình lên một mặt phẳng
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu \(d \subset (P)\) hoặc \((P) \supset d\).
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu \(d = (\alpha ) \cap (\beta )\).
- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
3. Cách xác định mặt phẳng
- Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó chứa 3 điểm không thẳng hàng.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
4. Hình chóp và hình tứ diện
- Cho đa giác lồi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\) và một điểm S không thuộc \((\alpha )\). Nối S với các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\)để được n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\). Hình tạo bởi n tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)và đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\)được gọi là hình chóp và kí hiệu là \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\).
- Trong hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\):
+ Điểm S được gọi là đỉnh.
+ Đa giác\({A_1}{A_2}...{A_n}\) được gọi là mặt đáy.
+ Các tam giác \(S{A_1}{A_2},S{A_2}{A_3},...,S{A_n}{A_1}\)được gọi là các mặt bên
+ Các cạnh \(S{A_1},S{A_2},...,S{A_n}\)được gọi là cạnh bên; các cạnh\({A_1}{A_2},{A_2}{A_3}...,{A_n}{A_1}\) được gọi là các cạnh đáy.
* Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,…thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu là ABCD.
Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chương trình Hình học không gian trong Toán 11 đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy không gian và khả năng giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết Điểm, Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian, dựa trên nội dung SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo.
Trong không gian, một điểm được xác định bởi ba tọa độ (x, y, z) trong một hệ tọa độ Oxyz. Việc xác định vị trí của một điểm trong không gian là cơ sở để nghiên cứu các yếu tố hình học khác.
Có nhiều cách để xác định một đường thẳng trong không gian:
Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng là những công cụ quan trọng để biểu diễn và nghiên cứu đường thẳng trong không gian.
Một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bởi:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là một công cụ mạnh mẽ để biểu diễn và nghiên cứu mặt phẳng trong không gian.
Hai đường thẳng trong không gian có thể có các vị trí tương đối sau:
Việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng đòi hỏi việc phân tích vectơ chỉ phương và kiểm tra điều kiện đồng phẳng.
Một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian có thể có các vị trí tương đối sau:
Việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng đòi hỏi việc kiểm tra điều kiện vuông góc và điều kiện thuộc.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc này được tính bằng công thức:
sin(θ) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||)
Trong đó:
Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức:
d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)
Để nắm vững lý thuyết, bạn nên thực hành giải các bài tập trong SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác. Việc giải bài tập sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về các khái niệm và công thức, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết về Lý thuyết Điểm, Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
