Bài 12 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ)
Đề bài
Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h(t) = 0,8cos0,5t + 4.\)
(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidal-modelling.pdf)
a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?
b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay t = 2 vào công thức h(t).
b) Giải phương trình côsin để tìm t.
Lời giải chi tiết
a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: \(h\left( 2 \right) = 0,8cos0,5.2 + 4 \approx 4,43{\rm{ }}m.\)
Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.
b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\).
Ta có: \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow cos0,5t = - \frac{1}{2} = cos\frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow 0,5t = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Với \(t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \le 12 \Leftrightarrow - 0,3 \le k \le 0,62 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = \frac{{4\pi }}{3}\).
Với \(t = - \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le - \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \le 12 \Leftrightarrow 0,3 \le k \le 1,28 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = - \frac{{4\pi }}{3} + 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}\).
Hai thời điểm t vừa tìm được chính là giao điểm của đồ thị h(t) với đường thẳng y = 3,6.
Ta thấy trong khoảng \(\left( {\frac{{4\pi }}{3};\frac{{8\pi }}{3}} \right)\), đồ thị h(t) nằm dưới đường thẳng y = 3,6, tức trong khoảng thời gian t đó, mực nước thấp hơn 3,6 m và tàu không thể hạ thủy.
Vậy tàu có thể hạ thủy vào các thời điểm \(t\in \left[ 0;\frac{4\pi }{3} \right]\cup \left[ \frac{8\pi }{3};12 \right]\).
Bài 12 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Nội dung bài tập:
Bài tập yêu cầu xác định phép biến hóa affine f biết f(A) = B và f(C) = D, với A, B, C, D là các điểm cho trước. Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Giải chi tiết:
Giả sử A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD, yD). Ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine f có dạng:
a b c d e f 0 0 1 a b c d e f 0 0 1
Ta có:
f(A) = B => (xB, yB) = (axA + bxA + c, dyA + eyA + f)
f(C) = D => (xD, yD) = (axC + bxC + c, dyC + eyC + f)
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được các giá trị của a, b, c, d, e, f. Sau đó, thay các giá trị này vào ma trận biểu diễn của phép biến hóa affine f để có được phương trình của f.
Ví dụ minh họa:
Cho A(1, 2), B(3, 4), C(0, 1), D(2, 3). Tìm phép biến hóa affine f sao cho f(A) = B và f(C) = D.
Giải:
Ta có:
3 = a(1) + b(2) + c
4 = a(2) + b(1) + f
2 = a(0) + b(1) + c
3 = a(1) + b(0) + f
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 1, b = 1, c = 0, d = 1, e = 1, f = 1.
Vậy, phép biến hóa affine f có dạng:
x' = x + y
y' = x + y + 1
Lưu ý:
Trong quá trình giải bài tập, cần chú ý đến việc chọn hệ tọa độ thích hợp để đơn giản hóa bài toán. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Kết luận:
Bài 12 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về phép biến hóa affine. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
